硬币购物

挺难的，乍一看限制条件很多，难做。

试试把子问题拆解成小问题：

共有 \(1\) 种硬币。面值为 \(c_1\)。不限制使用次数，请问每次有多少种付款方法？

这样变成了裸的完全背包，直接 \(O(n)\) 解决。但是原问题怎么写啊？我也不知道啊 qwq。

满足条件的方案总数 不好求，但是 不满足条件的方案总数 可以求，那么只要 方案总数 - 不满足条件的方案总数 = 满足条件的方案总数！

怎样是非法的呢？那就是取的硬币数量 \(sum>d_i\)，即一旦 \(sum=d_i+1\)，那么接下来不论怎么取硬币都是非法方案。

那强制令体积为 \(s-c_i \cdot (d_i+1)\) 时所有方案都是非法的，此时状态转移方程好推，

\[ans=dp_s-dp_{s-c_i \cdot (d_i+1)} \]

即我们把不合法方案看做 \(4\) 个集合，要求的就是集合们的并集。设第 \(i\) 个集合为 \(A_i\)，即求 \(|A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4|\)。

由容斥原理

\[\left| \bigcup_{i=1}^n A_i \right| = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n} \left| A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A_{i_k} \right| \]

即集合的并等于集合的交的交错和（奇正偶负）可得到：

\[|A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4| \\ \]

\[= (|A_1| + |A_2| + |A_3| + A_4|) - (|A_1 \cap A_2| + |A_1 \cap A_3| + |A_1 \cap A_4| + |A_2 \cap A_3| + |A_2 \cap A_4| + |A_3 \cap A_4|) \]

\[+ (|A_1 \cap A_2 \cup A_3| + |A_1 \cap A_3 \cap A_4| + |A_2 \cap A_3 \cap A_4|) \\ - |A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4| \]

两个集合的并集怎么求呢？
还是类似刚才的做法，如果要让这种方案成立，我们就强制把两个硬币全部扣去，即 \(s-c_i \cdot (d_i+1)-c_j \cdot (d_j+1)\) 同样可以拓展到 \(n\) 个的情况。

用二进制设计状态更加简洁。