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1

题目大意：有两个数组 \(a,b\)，你可以进行恰好一次，将 \(a\) 的一段区间翻转。设所有不同的操作方法中，操作后 \(a,b\) 中相等的位置的数量之和是多少。\(n\le 5\times 10^5\)

我们考虑对于每一种 \(a_i\) 被反转到 \(j\) 位置，然后得到 \(a_i=b_j\) 的贡献单独来求。
设 \(a_i=b_j=x\)。
将所有等于 \(x\) 的 \(a_i\) 和 \(b_j\)，按照靠两端的距离的较小值 \(p=min(i,n-i+1)\) 排序。
对于每个 \(p_j\) 比当前这个 \(a_i\) 的 \(p_i\) 小的 \(b_j\)，会产生 \(p_i\) 的贡献。
而对于每个 \(b_j\)，若有 \(c\) 个 \(p_i\) 比 \(p_j\) 大的 \(a_i\)，会产生 \(c\cdot p_j\) 的贡献。
这两部分可以通过从后往前扫，并记录一个 \(p_i\) 的前缀和来实现。
具体实现细节见代码。

此方法中，\(a_i=b_i\) 的情况需要单独考虑（就是不需要翻转就相等），贡献为 \(\frac{n(n+1)}{2}-i\cdot (n-i+1)\)

2

题目大意：给一个数组 \(a\) 和整数 \(m\)，你每次可以进行操作：将某个 \(a_i\) 加一或减一。取一个 \(x\)，使得可以用最少的操作次数，让每个 \(a_i\) 都满足 \(a_i-x\) 是 \(m\) 的倍数，输出这个最少的操作次数。\(n\le 2\times 10^5\)

问题在模 \(m\) 意义下进行，所以先给输入的数组对 \(m\) 取模，然后排序。
问题就变成了，取一个 \(0\le x<m\)，使得 \(abs(a_i-x)\) 的和最小。

可以发现，\(x\) 只会取为某个 \(a_i\)，否则如果 \(x\) 在两个 \(a_i\) 中间，将他向其中之一移动，答案一定不会变劣。
那么，枚举取哪个 \(a_i\)，就会将数组划分为两段，一段通过加一加到 \(a_i\)，一段通过减一减到 \(a_i\)。
答案计算通过前缀和进行，为了实现方便，可以将数组整体复制一遍，后半部分全部加上 \(m\)，形成一个长度为 \(2n\) 的数组。

3

题目大意：有一个 \(n\times n\) 的矩阵，\(a_{i,j}=i+j\)，先对他进行若干次交换两行的操作，再进行若干次交换两列的操作，设此时的矩阵是 \(p\)。再对 \(p\) 进行若干次操作：每次选定两个矩阵中有的数 \(a,b\)，将所有的 \(a\) 变成 \(b\)，同时所有的 \(b\) 变成 \(a\)。给出最后的矩阵，要求还原出 \(p\)，如果有若干 \(p\) 满足要求，给出字典序最小的一个。\(1\le n\le 1000\)

我们发现 \(p\) 的值域是 \([2,n+n]\)，而出现次数为 \(k\) 的数，要么是 \(1+k\)，要么是 \(n+n+1-k\)。
同时，\(p\) 的每一行，每一列，都必须是一个连续的区间 \([m,m+n-1]\)。
而只要是满足以上条件的矩阵，就是一个可以通过前两种操作得到的 \(p\)。

那么我们先求出给出的矩阵中，出现次数为 \(1\) 的两个数，那么肯定对应 \(p\) 中最大最小的两个数，\(2\) 和 \(n+n\)。
因为要求字典序最小，我们肯定就让 \(2\) 放在前面。
此时最大最小数都确定了，根据之前的性质，每一行每一列都是连续的区间，那么就会有两行两列的数全部被确定了。
然后去找次大数和次小数的位置，会发现有一个已经固定好的交点，根据他们的位置又能确定出若干行列。
这样不断从最大、最小的数往中间来确定，最终就确定出全部 \(n+n-1\) 种数的位置。

具体实现较为繁琐，需要使用 vector 保存出现次数为 \(cnt\) 的数被确定到了哪些位置上。
复杂度 \(O(n)\)。