2-sat 部分题目
记录一些做过的 2-sat 题目
P4171 [JSOI2010]满汉全席
很裸的 2-sat
题意：\(n\) 种食材，每种可以按照满式或汉式来烹饪，有 \(m\) 个要求，每个要求所有做出的菜品中，必须有指定的两个 满式/汉式 烹饪的第 \(x\) 种食材 中，至少一个
多测
就把每个食材，拆乘用满式和用汉式两个点，然后题目中给出的是“或”的关系，用经典 2-sat 模板的方法建图跑 tarjan 就行
其实 满式和汉式 对应的就是经典模型中的 真和假
P5782 [POI2001]和平委员会
每个党在议会中有 \(2\) 个代表。代表从 \(1\) 编号到 \(2n\)。 编号为 \(2i-1\) 和 \(2i\) 的代表属于第 \(i\) 个党派。
选一些人当代表，满足：
- 每个党派都在委员会中恰有 \(1\) 个代表。
- 如果 \(2\) 个代表彼此厌恶，则他们不能都属于委员会。
给出互相厌恶的信息，求是否有满足要求的选法，如果有，升序输出任意一种
也是显然的 2-sat
对于给出的互相厌恶的两个人，先判一下在他们在自己的党派中分别是第几个人
对于每个党，拆成两个点，然后每个点代表是选第一个人还是选第二个
连边的依据就是，如果选了这个人，一定要再选哪个人
我的写法中是，每个党中第一个人用 \(1\) 到 \(n\)，编号，第二个人用 \(n+1\) 到 \(2n\) 编号
给出的信息的连边方式是，对于互相厌恶的每一方，都向对方的党派中，的另一个人连边，表示如果选择这个人，在对方党派中，就必须选另一个人（因为不能同时选这个人和对方）
然后跑 tarjan 就行了
代码
P6378 [PA2010]Riddle
\(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图被分成 \(k\) 个部分。每个部分包含一些点。
请选择一些关键点，使得每个部分 至多 有一个关键点，且每条边 至少 有一个端点是关键点。
比上面两个稍微难点
还是把每个点拆成两个，分别表示这个点选为关键的还是不选
\(1,\cdots ,n\) 的编号表示选，\(n+1,\cdots ,2n\) 的编号表示不选
首先考虑第二条限制，每条边 至少 有一个端点是关键点
连 \((u+n,v),(v+n,u)\) 两条边，表示一段如果不选，一定能导出另一端要选
再考虑第一种，首先有种朴素的想法，就是每一个点，设为 \(x\)，设和它在同一个部分内的点编号分别是 \(a_i\)，用 \(x\) 分别向 \(a_i+n\) 连边
就是如果 \(x\) 被选了，一定能导出 \(a_i\) 都不能选
但边数达到了 \(n^2\)，不可行
可以用一种 前缀和优化，以前并没有听说过这种方法，还是看来题解才知道的
要新建一堆点，\(pre_i\) 表示在当前的这个部分，前 \(i\) 个点中，有一个点已经被选了，而 \(pre_i'\) 表示前 \(i\) 个点，一个都没被选
然后也是用 2-sat 的连边规则，假设某个点表示的信息成立，那么就用它，连向由它表示的这个信息，一定能导出的信息，所对应的点
具体的连边方式比较复杂，可以想到，如果当前在考虑一个部分的第 \(i\) 个点，与它有关的有 \(a_i,a_i',pre_i,pre_i',pre_{i-1},pre_{i-1}'\)，这里是用 \(a_i,a_i'\) 分别表示代表信息第 \(i\) 个点 选/不选 的点
然后如果很懵的话可以 \(6\times 5=30\) 次两两分别枚举，看一下有没有关系，看起来麻烦，其实有好多一想就知道没关系的可以直接跳过了
下面的括号表示连边，是有向的
- \((a_i,a_i'),(pre_i,pre_i'),(pre_{i-1},pre_{i-1}')\)，这些并不在 2-sat 连边考虑范围内，然后把他们反过来也是一样
- \((a_i,pre_i),(a_i,pre_{i-1}')\)，选了第 \(i\) 个，前 \(i\) 个中有被选的，前 \(i-1\) 个没有
- \(a_i',pre_i,pre{i-1}'\)，这三个信息并不能推出什么，所以没有它们的出边
- \((pre_i',a_i'),(pre_i',pre_{i-1}')\)，显然
- \((pre_{i-1},pre_i),(pre_{i-1},a_i')\)，前 \(i-1\) 个中有被选的，前 \(i\) 个肯定也有，且第 \(i\) 个不能选
就可以了，题目也并没有要求给出方案
代码中，用 \(1\) 到 \(n\) 表示 \(a_i\)，\(n+1\) 到 \(2n\) 表示 \(a_i'\)，\(2n+1\) 到 \(3n\) 是 \(pre_i\)，\(3n+1\) 到 \(4n\) 是 \(pre_i'\)
代码
P3825 [NOI2017]游戏
\(n\le 5\cdot 10^4,m\le 10^5,d\le 8\)
如果没有 \(\texttt{x}\) 地图，那么对于每一场比赛，都只能使用两种车子
那么对每个比赛，可以用两个点，分别表示对于当场比赛，用的是能用的车子中的第几个（比如一场比赛不能用 \(\texttt{A}\)，那么 \(\texttt{B}\) 就是第一个，\(\texttt{C}\) 就是第二个
直接按 2-sat 建图跑 tarjan
考虑如何建图，下面描述中，字母意义就对应了题目中游戏要求描述的四元组中的字母，设第 \(i\) 个比赛不能用车 \(s_i\)
- \(s_i=h_i\)，不能用 \(h_i\)，说明这种情况永远不会发生，直接忽略就行
- \(s_j=h_j\)，\(j\) 比赛不能用 \(h_j\)，说明我们不能让这种情况发生，否则就违反了规则，那么由 \(h_i\)，向连边比赛 \(i\) 能用的另一个车连边，表示如果用车 \(h_i\) 成立（这是不符合我们要求的），就要强制它选另一辆，也就是让另一个车成立
- 其它情况。由 \(h_i\) 向 \(h_j\) 连边就行，意义就是题目中要求的，\(i\) 用 \(h_i\) 则 \(j\) 必须用 \(h_j\)
如果 tarjan 判断成立，按照 tarjan 缩点时强连通分量与拓扑序相反的性质，就能构造出一组解
那么有地图 \(\texttt{x}\) 怎么办？
由于 \(\texttt{x}\) 很少，所以可以 \(2^d\) 枚举每一个 \(\texttt{x}\) 是 \(\texttt{a}\) 或 \(\texttt{b}\)，这样分别能使用 \(\texttt{A,B}\) 车和 \(\texttt{B,C}\) 车，包含所有情况，就不用考虑 \(\texttt{x}\) 是地图 \(\texttt{c}\) 的情况了
所以复杂度 \(O(2^dm)\)，洛谷bzoj都能过，但uoj加了一组恶心的extra，被卡成了97，把递归改成循环再加上火车头还是不行/kk
代码
P3513 [POI2011]KON-Conspiracy
Byteotia 的领土被占领了，国王 Byteasar 正在打算组织秘密抵抗运动。国王需要选一些人来进行这场运动，而这些人被分为两部分：
一部分成为同谋者活动在被占领区域，另一部分是后勤组织在未被占领的领土上运转。但是这里出现了一个问题：
- 后勤组织里的任意两人都必须是熟人，以促进合作和提高工作效率。
- 同谋者的团体中任意两人都不能是熟人。
- 每一部分都至少要有一个人。
国王想知道有多少种分配方案满足以上条件，当然也有可能不存在合理方案。
比较有思维难度，思路来自这个blog：https://www.cnblogs.com/chenyushuo/p/5128665.html
首先，可以用一个很显然的 2-sat 求出一种安排方式，具体方法是 \(i\) 认识 \(j\)，就连边 \(i+n,j\)，否则连 \(i,j+n\)
其中 \(1\cdots n\) 是后勤，\(n+1\cdots 2n\) 是同谋
然后从这种方式看看能转变成几种其它方式，显然不能同时让两个人从一个集合到另一个集合（比如两个互相认识的后勤同时到了同谋，那么它们互相认识就出现了问题）
所以转换方式是，一个人自己转变集合，或者两个集合交换一个人
首先定义 \(x\) 的“冲突点”，如果 \(x\) 是后勤，那么冲突点是在同谋中的 \(x\) 认识的人，如果 \(x\) 在同谋，冲突点是在后勤中 \(x\) 不认识的人
记 \(x\) 的冲突点个数为 \(num_x\)
- \(num_x>1\)，则无法让 \(x\) 到另一个集合
- \(num_x=1\)，需要交换 \(x\) 和他的唯一一个冲突点，但是如果它的冲突点的 \(num\) 不为 \(0\)，也不能交换（两个点显然不能互为冲突点，那么如果它的冲突点也有冲突点，就肯定和它的集合内的某个点冲突，除非和这个冲突的点互换，它的冲突点是不能来的它的集合的）
- \(num_x=0\)，可以直接把 \(x\) 放到对面（如果 \(x\) 所在集合大小大于 \(1\)），也可以和对面某个冲突点个数为 \(0\) 的点呼唤
最后这个两个集合中，冲突点为 \(0\) 的点互换产生的答案，可以拿两遍冲突点个数为 \(0\) 的点的个数一相乘得到
可以想到，这样统计答案包含了所有情况
POJ2749 Building roads
给出一些点和它们的坐标，以及两个链接点，所有点都要链接到恰好一个链接点上
给出 \(A\) 对点，这些点任意一对不能链接同一个链接点。还有 \(B\) 对点，任意一对必须连接到一个链接点
问有没有可行方案，如果有，两个点之间最大距离的最小值是多少，距离按曼哈顿距离计算
每个点拆成 连到第一个点 和 连到第二个点，然后二分一个最大距离，就可以得到关于距离的限制条件，连边即可
坑
LOJ#6036.「雅礼集训 2017 Day4」编码
P5332 [JSOI2019]精准预测
这俩题细节好像挺多，做了一上午没做出来自闭了/kk
LOJ#571.「LibreOJ Round #11」Misaka Network 与 Accelerator，一开始以为是个线段树优化连边的题，后来写着写着发现不对，看网上说要用边分治，之后应该就要学这一块了，到时候应该会补
然而难度稍大的我似乎都没做qaq
