ZROI 19.08.09模拟赛

传送门

写在前面:为了保护正睿题目版权,这里不放题面,只写题解。


  • A

\(70pts:\)

维护一个栈,从一侧向另一侧扫描,如果新加入的元素与当前栈顶相同,则出栈,否则进栈。显然一个子串是括号序列,当且仅当栈为空。

枚举起点,暴力模拟即可。复杂度\(O(n^2)\)

\(100pts:\)

对于一个右端点,考虑哪些左端点可以和它匹配。

发现所有合法的左端点,两者栈的内容都是相等的,可以Hash判断。

实际上考虑每次加入字符时,只会在末尾变动一次,可以用trie树维护。复杂度\(O(\sigma n)\)


  • B

\(20pts:\)

随便爆搜即可。

\(40pts:\)

考虑状压,设\(f_{state}\)为选了\(state\)的建筑公司后,最大的花费。

每次转移时枚举最后选的建筑公司\(i\),现在需要求\(e_i\)

直接算很难算,考虑容斥。

发现有一些点集,它们之间的边已经被之前的公司连过了。

枚举之前选的建筑公司的每个子集\(state'\),被它影响的点是与\(i\)的点集的交集,容斥系数是\((-1)^{|state'|}\)

用bitset维护点集的交集,复杂度\(O(\frac{3^m n}{w})\)

\(70pts:\)

发现本质不同的交集只有\(2^m\)个,预处理交集大小,容斥时可以直接算。复杂度\(O(\frac{2^m n}{w}+3^m)\)

或者对于每个点,考虑它在哪些点集里出现了。对它未出现的点集的每个子集,将它的权值\(-1\),预处理复杂度可以降到\(3^m\)

\(100pts:\)

高维前缀和:设有定义在集合上的函数\(f(S)\),现在要求\(g(T)=\sum_{S\subseteq T} f(S)\)。直接求是\(O(3^n)\)的,然而通过一些玄妙的手段,可以将它的复杂度降为\(O(2^n\cdot n)\)

对预处理和容斥分别使用高维前缀和即可。


  • C

\(100pts:\)

发现一个排列就是若干个环组成的置换,目标是把环的总数变为\(n\)

考虑交换两个元素后环会如何变化。

发现如果交换同一个环的元素,环会被拆成两份。否则两个环会因此合并。

因此最小化操作次数等价于最小化合并环的次数。

考虑什么时候会合并环。对于一个环,如果内部有多于一种颜色(称作异色环),可以从每次交换颜色断点处的两个元素,形成一个新的自环。因此一个异色环可以直接拆成自环,不需要合并。

否则,环内任意两个元素都无法交换,则必须将其与包含其他颜色的环合并。

考虑至少需要合并多少次。发现一次合并最优可以将两个颜色不同的同色环合并成异色环。在所有同色环颜色相同时,则只能将一个同色环与某个异色环合并。

因此每次将出现次数最多的两种颜色的同色环合并是最优的,用堆维护即可。

一万个特判,一万个边界。辣鸡swk赛场上没调出来,成功爆零了。

这题太难写了所以放一下代码。戳这里qwq

对于消异色环,另外一种比较简单的写法是,钦点一种颜色,第一次消去这个颜色所有边,只留一条。第二次用这条边把整个环都消掉即可。

posted @ 2019-08-19 08:13  suwakow  阅读(131)  评论(0编辑  收藏  举报
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