ZROI 19.08.03 分治与离线

  • 经典问题,给一张图,支持加边/删边/询问两点连通性。

离线统计边权(删除时间),lct维护最大生成树即可。

也可以按时间分治,维护一个可回退并查集即可。


  • 主定理

很好用,但是记不住。

有一种简明的替代方式:画一棵递归树,考虑层数和每层的节点数(线段树分析.jpg)


  • 分治时递归和处理中心的顺序可以是任意的,可以按照具体情况选择,以 简化复杂度。

  • 快速排序的期望复杂度:

\[T(n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n[T(i-1)+T(n-i)]+n-1=\frac{2}{n}\sum_{i=0}^{n-1}T(i)+n-1 \]

\[n\cdot T(n)=2\sum_{i=0}^{n-1}T(i)+n(n-1) \]

\[(n-1)\cdot T(n-1)=2\sum_{i=0}^{n-2}T(i)+(n-1)(n-2) \]

\[n\cdot T(n)-(n-1)\cdot T(n-1)=2T(n-1)+2(n-1) \]

\[n\cdot T(n)=(n+1)T(n-1)+2(n-1) \]

\[\frac{T(n)}{n+1}=\frac{T(n-1)}{n}+\frac{2(n-1)}{n(n+1)} \]

\[F(n)=\frac{T(n)}{n+1}=\sum_i^n\frac{2(i-1)}{i(i+1)}\leq \sum_i^n \frac{2}{i}=2\ln n \]

\[T(n)=O(n\log n) \]

对于期望复杂度经典的证明方法,乘上\(n\)再错位相减。


  • 定理:期望为\(O(f(n))\)的复杂度退化到\(O(g(n))\)的概率小于\(\frac{f(n)}{g(n)}\),而且这个上界非常宽松,大多数时候都达不到。

  • \(O(n)\)找第\(k\)

考虑快速排序的过程,按某个中间值分成两半,然后找对的一边递归下去。期望\(O(n)\),然而最劣是\(O(n^2)\)

发现最劣的情况在于每次都划分出一个大小为\(1\)的子问题。

可以把原序列分成\(5\)份,排成一个\(5\times \frac n5\)的表格。对每一列找出中位数,然后找到列的中位数,从这个位置划分,可以保证每次问题规模最少降低\(O(\frac{3}{10}n)\)

然而没什么用,因为常数巨大。

给我们的启发意义在于,我们可以通过一些(大)合(常)理(数)手段划分分治中心,从而降低复杂度。


  • 分治fft

  • 三维偏序:cdq分治


  • \(n\)个红点,\(n\)个黑点,没有重复或三点共线。求一个红黑点的完美匹配,使得连线互不相交,保证有解。\(n \leq 10^4\)

sd省集讲过,然而我又忘了。

提示:对于任意这样的\(2n\)个点,解一定存在。

证明:只需要找到总长度最小的一种方案,一定不会有交点。

一定可以找到一条直线把点集分开,使得两边红黑点个数均相等。考虑坐标最小的某个点为原点,把剩余点按照极角排序,由于不存在三点共线,则一定有这样的位置,恰好使两边相等。

最劣是\(O(n^2\log n)\),但是每次旋转一个角度,随机选点跑得很快,\(O(\)能过\()\)


  • \(n\)个整数\(a_i\),求\(\min_{i<j}\{ (j-i)^2+(\sum_{k=i+1}^j a_k)^2 \}\)\(n\leq 10^5\)

\(a_i\)取个前缀和\(S_i\),发现把\((i,S_i)\)看作一个点,就是一个平面上距离。平面最近点对即可。我一开始想分治+斜率优化来着。


  • 给定一棵树,问有多少个大小为\(k\)的点集,使得存在节点\(u\),使得任意一个\(v\in S\),有\(dis(u,v)\leq L\)\(n\leq 10^5\)

对于一个点集\(S\),满足条件的点构成一个连通块。树上连通块点数-边数=1,所以对于每个点、每条边分别统计满足条件的点集容斥一下即可。

统计点集相当于对每个点(或边建出来的虚点)统计距离不超过\(L\)的点数,然后算个组合数就好了。邻域是经典问题,点分树就好了。


  • \(1\)为根的二叉树,对它任意一个包含\(1\)的连通块,给连通块内每个点赋一个权值\(w_i\),块外的点权值为\(0\),每个点的权值满足\(w_i\geq \sum w_{son_i},w_1=x\),求所有连通块的所有\(w_i\)的方案的和。\(n\leq 10^5,x\leq 10^{18}\)

\(b_i=w_i-\sum w_{son_i}\),则原条件等价于\(b_i\geq 0,\sum b_i=x\)。设连通块大小为\(m\),则它的权值就是\(C(x+m-1,m)\)

于是问题变成统计以\(1\)为根,大小为\(m\in[1,n]\)的连通块个数。

这个若干天前讲过,求生成函数,树剖后分治fft即可。所以二叉树这个性质有什么用


“动态点分治模板题,大家一定都做过,不用讲了。”

点分树支持动态添加叶子,需要像替罪羊树一样重构。


  • 有向图\(G\),支持动态加边,求每次加边后\((u,v)\)数,使得\((u,v)\)互相可达,允许离线。\(n,q\leq 10^5\)

等价于对每条边\((u,v)\),统计\((u,v)\)是什么时候开始相互可达的,然后用并查集计算即可。

整体二分。设\(solve(l,r,S)\)表示\(S\)里所有边都是在\([l,r]\)时间段开始相互可达的。(在执行这个函数之前,且所有加入时间在\([1,l)\)的,且在\(S\)内的边均已加入并缩点完毕,孤立点被删除。)

我们把\(S\)\([l,mid]\)的边都加入然后缩点,即可据此把\(S\)分为两部分,递归即可。右边可以直接递归,左边需要对缩点可回退化一下。代码很不可写。只对涉及到的点进行计算,单次递归复杂度是\(O(|S|)\)的,每条边只会被计算\(O(\log)\)次。


  • 给定一个\(w\times h\)的网格,每次允许向右、上、下走,都有对应的权值,求左边一列每个点到右边一列每个点的最短路长度和。\(w\times h\leq 2\times 10^5\)

维护从左上角出发的最短路径树。

发现起点向下移动的时候,每个点在树上的父亲是逆时针单调旋转的,且最多变\(2\)次。

对于一个时间区间\([l,r]\),如果一个点没有变父亲,它们是可以缩起来的。然后就和上一题一模一样了。


  • 离线求逆元

类似阶乘逆元的求法,求前缀积然后反向递推回去即可。复杂度\(O(n+\log p)\)


  • 树上并查集

树上分块+四毛子,块大小\(O(\log\log n)\),可以做到线性。


  • 离线LCA

Tarjan+并查集实现。

posted @ 2019-08-19 08:07  suwakow  阅读(146)  评论(0编辑  收藏  举报
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