ZROI 19.08.01 树上数据结构

1.总览

  • LCT

  • 链分治(树剖)

  • 点/边分治

2.点分治

  • 一棵树,点有\(0/1\),多次修改,询问最远的两个\(1\)距离。

建出点分树,每个子树用堆维护:①最远的\(1\)距离;②它的每个儿子的①堆顶;

全局维护每棵子树②堆最大的两个值,每次修改暴力改就可以。

时间复杂度\(O(n \log^2n)\)(基本动态点分都是\(\log^2\)以上的复杂度……然而仍然随便过\(10^5\),小常数可能性微存?)。


  • 一棵树,点有点权,每次询问距离一个点不超过\(k\)的点权和。

每个点维护一个深度数据结构(这里树状数组就可以),询问的时候子树直接查,父亲递归上去。

每个点对每个儿子单独维护一个树状数组,因为计算的时候要差分。


  • 一棵树,度数不超过\(20\),支持修改点权,求带权重心。

考虑重心在树上转移的过程,如果不是到父亲,显然是走到\(size_y>\frac{size_x}{2}\)的一个子树。

可以用点分树优化这个过程。

每次扫一下所有儿子,找到最优的,直接跳到分治中心递归即可。

由于重心是凸的,可以保证正确性。


考虑查询的时候,在点分树上找到最浅的一个点\(y\),满足这个点被保留\([l,r]\)后被\(x\)的连通块包含,则所有\([l,r]\)间的点都在\(y\)的子树里。

对于以\(y\)为分治中心的每个点\(i\),维护从\(i\)\(y\)路径上编号最大和最小的点\(\max_i,\min_i\)

发现点\(i\)在连通块内的充要条件是\([\min_i,\max_i] \subseteq [l,r]\),转化成了经典二维数点问题。

3.链分治

  • \(n\)个点的树,每条边可以切断或不切断,求\(1\)号点连通块大小恰好为\(k\)的方案数,对ntt模数取模。\(n \leq 10^5\)

一个比较显然的暴力是直接背包,每对点会在\(lca\)处产生一次复杂度,总复杂度\(O(n^2)\)

观察dp式子\(f_{x,j}=\prod_{y \in son_x}^{\sum_k=j}(f_{y,k}+[k=0])\),发现很像一个卷积。

考虑链分治,树上轻儿子\(size\)和是\(O(n\log n)\)级别。

所以对于一条重链,可以先递归求出它链上所有轻儿子的生成函数,然后就变成了序列上问题,这个可以分治fft解决。总复杂度\(O(n\log^3n)\),不过常数很小。


著名毒瘤题。(我写这题的时候splay和treap都被卡常了,最后换了压缩trie才过)

比较naive的想法是根号分治+\(\log\)数据结构。

发现对于每个大点,修改次数均摊\(O(\sqrt n)\)次,询问次数只有均摊\(O(1)\)次,用分块代替\(\log\)数据结构,可以做到\(O(n\sqrt n)\)

换一种思路,对每个点维护轻儿子,则不在这个集合里的只有重儿子,本身和父亲。修改的时候暴力跳重链就行了。

单次修改\(\log^2n\),询问\(\log n\)。(实际上有一个\(\log\)的做法)


比较naive的想法是离线建出操作树,问题变成了求链上叉积最大值。然而直接维护凸包是\(\log^3 n\)的(树剖+线段树/set+凸包上二分)。

观察在重链上跳的过程,发现除了最后一次,每次都是重链上的一个前缀,那么可以离线询问,对每条重链直接暴力维护前缀凸包,两部分都是\(\log^2n\)


  • \(n\)个点的树,\(q\)次操作,支持修改点权,询问最大权联通子图。\(n, q \leq 10^5\)

考虑序列上怎么做,发现就是一个经典的线段树题。

把它搬到树上,发现就是一个动态dp,做完了。

4.LCT

  • 动态dp:只要满足dp式子具有可合并性,即,两个操作复合之后可以变成同样形态,只是系数不同的操作,就可以用动态dp维护。

  • \(n\)个人,\(0\)~\(n-1\),每个人有一个\(a_i\)。初始有一个\(x=0\),按顺序依次执行每个人,可以选择把\(x\)变成\((x+a_i) \mod n\),最后\(x\)获胜。每个人的策略都是:只有变了\(x\)必胜,且不变\(x\)不必胜时,他才会变。\(q\)次操作,每次修改某个\(a_i\),输出操作后谁会获胜。

每轮游戏只会有一个人动手,且动手前后一定是\(i-a_i => i\)

如果\(i\geq a_i\),则\(i\)\(i-a_i\)连边,整个结构形成了一个森林。

所有叶节点为\(f_i=1\),中间节点为\(\max(0, 1-\sum_{j\in son_i}f_j\),lct维护动态dp即可。


  • \(n\)个点的点仙人掌,边带权,\(m\)次操作,每次修改一条边权或询问两点间最大流。

最大流=最小割。

最小割如果是环边,就一定会把环上的最小值删掉,不妨把它删掉并把它的权值加到环上的其他边上,lct维护即可。

圆方树也可以做,合理设置边权即可。


  • \(n\)个点的树,\(q\)次操作:增加点权,翻转路径(权值),询问路径和/最大值/最小值。

建两棵splay分别维护权值和形态,保证中序遍历一一对应,修改直接在权值splay上做就好了。


发现修改操作和lct中的换根操作一模一样,直接lct维护就行了。需要一个树状数组来维护额外信息。


  • \(A,B,C\)三个点集,各有\(n_A,n_B,n_C\)个点。其中\(A\cup B,A\cup C\)分别构成两棵树,\(A\)内部没有边。随机\(i,j\),删除\([B_1,B_i],[C_1,C_j]\),问\(A\)仍然联通的概率。\(n_i\leq 10^5\)

枚举\(i\),显然\(j\)具有单调性,可以双指针。对于\(AB\)间的每条边,边权设为删除时间,加入\(AC\)边的时候删除\(AB\)间最早删除的边即可,lct随便维护。

不知道为什么这种水题讲了那么久。

posted @ 2019-08-19 08:05  suwakow  阅读(220)  评论(0编辑  收藏  举报
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