CF963-D. Med-imize

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二分套动态规划。

本题的中位数定义是 \(a_{\lceil\frac{n}{2}\rceil}\)，有个 trick，\(x\) 可能成为中位数，当且仅当比 \(x\) 大的数多于比 \(x\) 小的数。

我们现在只需要关心每个数和 \(x\) 的相对大小关系，我们给 \(\ge x\) 的数赋权 \(1\)，\(\lt x\) 的数赋权 \(-1\)。

容易发现 \(x\) 越大，序列中 \(-1\) 越多，总和越小，具有单调性。因此 \(x\) 具有可二分性。

问题转化为：对于一个中位数 \(x\) 得到的序列，能否通过删掉若干个长度为 \(k\) 的子段，使剩下的序列总和 \(sum \gt 0\)。

即我们要考虑怎么删才能最大化 \(sum\)。发现一段区间删不删，不是很好直接贪（跟每个数所处的位置有关系），考虑动态规划。

记 \(f[i]\) 表示 \(0 \sim i\)，删到长度 \(\le k\)，总和最大值。（下标从 \(0\) 开始，方便下文性质）

怎么判断分段呢？发现一个性质：若 \(a[i]\) 被留下来了，最后下标一定是 \(a[i \mod k]\)。原因很好想，因为你只能 \(k\) 个 \(k\) 个删， \(i\) 对于 \(k\) 的余数肯定不变。

因此转移可分三类：

\[f[i] =\begin{cases}f[i - 1] + b[i] \qquad & i \lt k \\\max(f[i], f[i - k]) \qquad & i \ge k \cap i\mod k \ne 0 \\\max(f[i - k], b[i]) \qquad & i \ge k \cap i\mod k = 0\end{cases} \]

最后判断 \(f[n] > 0\) 即可。时间复杂度 \(O(nlogn)\)。