CF980-Div2-D

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题意

从 \(1\) 开始决策，若选当前数，则累计贡献 \(a_i\) 并跳到 \(j\) 位置，\(j\) 是 \(\lt i\) 且没有决策过（包括选了和没选）的最大位置（操作 \(1\)）。若不选当前数，则跳转到 \(j\) 位置，\(j\) 是 \(\le b_i\) 且没有决策过（包括选了和没选）的最大位置（操作 \(2\)）。求最大得分。

思路

看到的第一眼以为是动态规划，想了一下觉得 dp 顺序太难搞了，好像也会有后效性。（但据说 dp 能做？）

考场上猜了一个结论：应该可以找一个拐点，到达之后就一直用操作 \(1\)。下来一看这个结论是对的。

感性理解一下，就是用操作 \(2\) 一定是为了能拿更远处的数，当操作 \(2\) 不再优后，我们只用操作 \(1\) 就是最优的。

设我们用操作 \(2\) 放弃了 \(p_1,p_2,\dots,p_m\)，最后拐点是 \(i\)。（也是最远点，因为不是最远点的话肯定不优）

所以答案就是 \(\max_{1 \le i \le n} presum_i - \sum_{1 \le j \le m}a_{p_j}\)。

现在问题转化成了对于每个 \(i\)，我们要最小化 \(\sum_{1 \le j \le m}a_{p_j}\)，即 “放弃贡献”。

这些点并不是按编号大小依次放弃的，也存在顺序问题，考虑构图。

我们连边 \((i \to i - 1, 0), (i \to b_i, a_i)\)。最后得到一张带权有向图。

用 Dijkstra​ 跑一遍，\(dis_i\) 就是每个拐点最小的 “放弃贡献”。

#include<bits/stdc++.h>
#define F(i,l,r) for(int i(l);i<=(r);++i)
#define G(i,r,l) for(int i(r);i>=(l);--i)
#define int ll
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 4e5 + 5;
const int inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
struct node{
	int v, w, ne;
}e[N << 1];
int T, n, idx = 0;
int a[N], b[N], dis[N], sm[N], first[N];
bool vis[N];
void add(int x, int y, int z){
	e[++ idx] = (node){y, z, first[x]};
	first[x] = idx;
}
priority_queue<pair<int, int> > q;
int solve(){
	cin >> n;
	F(i, 1, n) first[i] = vis[i] = 0, dis[i] = inf;
	dis[1] = idx = 0;

	F(i, 1, n) cin >> a[i], sm[i] = sm[i - 1] + a[i];
	F(i, 1, n) cin >> b[i], add(i, b[i], a[i]);
	F(i, 2, n) add(i, i - 1, 0);
		
	q.push({0, 1});
	while(q.size()){
		int u = q.top().second;
		q.pop();
		if(vis[u]) continue;
		vis[u] = 1;
		for(int i = first[u]; i; i = e[i].ne){
			int v = e[i].v, w = e[i].w;
			if(dis[v] > dis[u] + w){
				dis[v] = dis[u] + w;
				q.push({-dis[v], v});
			}
		}
	}
	
	int mx = 0;
	F(i, 1, n) mx = max(mx, sm[i] - dis[i]);
	return mx;
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
	cin >> T;
	while(T --){
		cout << solve() << '\n';
	}
	return fflush(0), 0;
}

总结

首先是要大胆猜结论，好验证的话就拿小样例验证一下，更重要的是利用这个性质做进一步的处理。

对于转移顺序没有明显规律，视具体数据转移的题，考虑构图。

遇到最大化问题，尝试转成最小化问题，或许就会有更多发挥空间，比如用 Dijkstra 跑最短路，二分之类的。

参考博客

Codeforces Round #980 Editorial - Codeforces

Codeforces Round 980 div2 个人题解(A~D) - ExtractStars - 博客园