为什么 cos(2πft) = 0.5 * (e^(j2πft) + e^(-j2πft))

一步步解释为什么：

\[\cos(2\pi f t) = \frac{1}{2} \left( e^{j2\pi f t} + e^{-j2\pi f t} \right) \]

这个等式其实是欧拉公式（Euler's Formula）的一个直接应用。

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🌟 欧拉公式回顾：

欧拉公式是复分析中的一个核心公式：

\[e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta \]

同样地，把 \(-\theta\) 代入：

\[e^{-j\theta} = \cos\theta - j\sin\theta \]

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✨ 把两个式子加起来：

\[e^{j\theta} + e^{-j\theta} = (\cos\theta + j\sin\theta) + (\cos\theta - j\sin\theta) = 2\cos\theta \]

两边同时除以 2：

\[\cos\theta = \frac{1}{2} \left( e^{j\theta} + e^{-j\theta} \right) \]

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🔁 现在把 \(\theta = 2\pi f t\) 代入：

\[\cos(2\pi f t) = \frac{1}{2} \left( e^{j2\pi f t} + e^{-j2\pi f t} \right) \]

✅ 就得到了你要的公式！

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💡 小结一下：

• 这个公式把实数域的余弦函数，用复指数函数表示了出来。
• 在信号处理、傅里叶变换、通信系统中超级常用！
• 它说明：一个正弦波（比如 \(\cos(2\pi f t)\)）其实可以看作是两个旋转方向相反的复指数信号的“平均”。

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🎯 举个形象比喻（轻松一下）：

想象你有两个小人，一个顺时针转，一个逆时针转，速度一样快，都在一个圆上走。他们位置的“水平投影”（也就是 x 坐标）加起来，正好就是你在地面上看到的正弦/余弦波——这就是为啥两个复指数相加能变成实数余弦啦！

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