洛谷P6071 Treequery（树链剖分+线段树合并+可持久化）
（在接下来的描述和图片中，用$dis_u$表示根（1号点）到$u$的路径的边权和；$[l,r]$范围内的点用蓝色表示，$p$用红色表示）
我们考虑$lca_{l,l+1,\cdots,r}$（以下记为$lca$，用橙色表示），有以下情况：
1.$lca$为$p$的孩子（或$p$）
这表明$[l,r]$均为$p$的孩子（或$p$），那么答案为$dis_{lca}-dis_p$
2.$[l,r]$中既有$p$的孩子（或$p$），又有点不是$p$的孩子（或$p$）
那么这两种点到$p$的路径无公共边，答案为0
3.$[l,r]$中没有$p$的孩子
这种情况较为复杂，我们还要找出$p$的祖先中最深的一个点，使它也为$[l,r]$中至少一点的祖先（即$lca_{p,l},lca_{p,l+1},\cdots,lca_{p,r}$中最深的一个，以下记为$fa$，用黄色表示）
它和$lca$的位置关系有两种情况：
3.1.它是$lca$的祖先
答案为$dis_p+dis_{lca}-2dis_{fa}$
3.2.它是$lca$的孩子
答案为$dis_p-dis_{fa}$
分析完毕。接下来研究如何实现：
求$lca$：树链剖分+线段树。
判断一个点的孩子中是否有$[l,r]$中的点：用线段树合并配合可持久化就可以在线处理。
求$fa$：从$p$开始，沿着重链向上跳，发现这条链上有答案时再在链上二分一下。
时间复杂度$O(nlogn+qlog^2n)$，空间复杂度$O(nlogn)$。
这样就可以愉快地上代码了：
#include<cstdio> #define For(i,A,B) for(i=(A);i<=(B);++i) #define Go(u) for(i=G[u];i;i=nxt[i])if((v=to[i])!=f[u]) const int N=200050; char rB[1<<21],*rS,*rT,wB[(1<<21)+50]; int wp=-1; inline char gc(){return rS==rT&&(rT=(rS=rB)+fread(rB,1,1<<21,stdin),rS==rT)?EOF:*rS++;} inline void flush(){fwrite(wB,1,wp+1,stdout);wp=-1;} inline int rd(){ char c=gc(); while(c<48||c>57)c=gc(); int x=c&15; for(c=gc();c>=48&&c<=57;c=gc())x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15); return x; } short buf[15]; inline void wt(int x){ if(wp>(1<<21))flush(); short l=-1; while(x>9){ buf[++l]=x%10; x/=10; } wB[++wp]=x|48; while(l>=0)wB[++wp]=buf[l--]|48; wB[++wp]='\n'; } int G[N],to[N<<1],w[N<<1],nxt[N<<1],sz,sum[N],f[N],dep[N],dfn[N],siz[N],son[N],top[N],ps[N],dfsc,sl[N<<2],rt[N],lc[N*40],rc[N*40],tot,x,y,n; inline void Swap(int &a,int &b){int t=a;a=b;b=t;} inline void adde(int u,int v,int c){ to[++sz]=v;w[sz]=c;nxt[sz]=G[u];G[u]=sz; to[++sz]=u;w[sz]=c;nxt[sz]=G[v];G[v]=sz; } //可持久化线段树合并部分 int add(int pre,int L,int R,int x){ int o=++tot; if(L<R){ int M=L+R>>1; if(x<=M){lc[o]=add(lc[pre],L,M,x);rc[o]=rc[pre];} else{rc[o]=add(rc[pre],M+1,R,x);lc[o]=lc[pre];} } return o; } int merg(int u,int v,int L,int R){ if(!u||!v)return u|v; int o=++tot; if(L<R){ int M=L+R>>1; lc[o]=merg(lc[u],lc[v],L,M); rc[o]=merg(rc[u],rc[v],M+1,R); } return o; } int ask(int o,int L,int R){ if(!o)return 0; if(x<=L&&y>=R)return 1; int M=L+R>>1; if(x<=M&&ask(lc[o],L,M))return 1; return y>M&&ask(rc[o],M+1,R); } //树链剖分部分 void dfs1(int u,int fa){ int i,v,maxn=0; siz[u]=1; dep[u]=dep[f[u]=fa]+1; rt[u]=add(0,1,n,u); Go(u){ sum[v]=sum[u]+w[i]; dfs1(v,u); siz[u]+=siz[v]; if(siz[v]>maxn){son[u]=v;maxn=siz[v];} rt[u]=merg(rt[u],rt[v],1,n); } } void dfs2(int u,int topf){ top[ps[dfn[u]=++dfsc]=u]=topf; if(son[u]){ int i,v; dfs2(son[u],topf); Go(u)if(v!=son[u])dfs2(v,v); } } inline int lca(int u,int v){ while(top[u]!=top[v]){ if(dep[top[u]]<dep[top[v]])Swap(u,v); u=f[top[u]]; } return dep[u]<dep[v]?u:v; } //lca线段树部分 void build(int o,int L,int R){ if(L==R)sl[o]=L; else{ int lc=o<<1,rc=lc|1,M=L+R>>1; build(lc,L,M);build(rc,M+1,R); sl[o]=lca(sl[lc],sl[rc]); } } int query(int o,int L,int R){ if(x<=L&&y>=R)return sl[o]; int lc=o<<1,rc=lc|1,M=L+R>>1; if(x<=M)if(y>M)return lca(query(lc,L,M),query(rc,M+1,R)); else return query(lc,L,M); else return query(rc,M+1,R); } inline int getfa(int u){ while(u){ if(ask(rt[top[u]],1,n)){ int l=dfn[top[u]],r=dfn[u],mid; while(l<r){ mid=l+r+1>>1; if(ask(rt[ps[mid]],1,n))l=mid; else r=mid-1; } return ps[l]; } u=f[top[u]]; } } int main(){ int q,i,j,u,v,c,lans=0,p; n=rd();q=rd(); For(i,2,n){ u=rd();v=rd();c=rd(); adde(u,v,c); } dfs1(1,0); dfs2(1,1); build(1,1,n); while(q--){ p=rd()^lans;x=rd()^lans;y=rd()^lans; if(dfn[u=query(1,1,n)]>=dfn[p]&&dfn[u]<=dfn[p]+siz[p]-1)lans=sum[u]-sum[p]; //1. else if(ask(rt[p],1,n))lans=0; //2. else if(dfn[v=getfa(p)]>=dfn[u]&&dfn[v]<=dfn[u]+siz[u]-1)lans=sum[p]-sum[v]; //3.2. else lans=sum[p]+sum[u]-(sum[v]<<1); //3.1. wt(lans); } flush(); return 0; }
