组合数学

组合数 de 基本性质

\[1. C^m_n = C^{n - m}_n \\ 2. C^m_n = C^{m - 1}_{n - 1} + C^m_{n - 1} \\ 3. \sum^i C_n^i = 2^n \]

都是很显然的。

求组合数：

1. 由公式 2 递推
2. 预处理阶乘及其逆元
3. Lucas 定理：AH 队爷觉得没用。
   \(C^m_n \equiv C^{m \mod p}_{n \mod p} * C^{m / p}_{n / p}\)

二项式定理

卡特兰数

组合意义：给定 \(n\) 个 \(0\) 和 \(n\) 个 \(1\)，按照某种顺序排列成长度为 \(2n\) 的数列，满足任意前缀中 \(0\geq 1\) 的个数。

\[Cat_n=\frac{C^n_{2n}}{n + 1} \]