从两个区间到多笔交易：一道算法题的进化之旅
本文从一个简单的区间选择问题出发，逐步扩展其难度与适用范围，整体思路由浅入深，层层递进，尝试揭示背后的通用算法设计方法。
问题一：选择至多两个不重叠区间以最大化长度和
问题描述
给定 \(n\) 个左右端点 \([l_i, r_i],l_i\le r_i\)，每个最终选择的区间需满足由某个左端点 \(l_x\) 与某个右端点 \(r_y\) 组成（\(y \ge x\)），要求从中选出至多两个两两不重叠的区间 \([start_i, end_i]\)，使得总长度 \(\sum (end_i - start_i)\) 最大。
分析
\(2n\) 个端点，每个端点记录其类型（左端点或右端点）与对应的数值。为便于处理，我们按这些端点在数轴上的位置排序。由于只选择至多两个区间，我们可以枚举一个分割点，将区间划分为左右两部分，分别求得最大可选区间长度之和。为实现该策略，我们可以预处理两个数组：
- MaxLeft[i]：表示从左到第 \(i\) 个点（含）中可以选出的最大单一区间长度；
- MaxRight[i]：表示从第 \(i\) 个点（含）到右侧可以选出的最大单一区间长度。
遍历所有可能的分割点，取最大值：
维护 MaxLeft 的过程：若当前为左端点：$ \text{MaxLeft}[i] = \text{MaxLeft}[i - 1] $，同时更新最小左端点 \(MinL\)；若当前为右端点：$ \text{MaxLeft}[i] = \max(\text{MaxLeft}[i - 1], \text{value}_i - MinL) $，即：
MaxRight 可类比从右向左更新，最终时间复杂度为 \(O(n)\)。
问题二：选择至多 \(k\) 个不重叠区间以最大化长度和
问题描述
在问题一的基础上，将最多选取的区间个数拓展为 \(k\)。求最多选取 \(k\) 个两两不重叠的区间使得 \(\sum (end_i - start_i)\) 最大。
分析
此问题无法直接枚举分割点，需使用动态规划，定义状态：
- \(dp[i][j]\) 表示前 \(i\) 个点中选出 \(j\) 个不重叠区间所能得到的最大值；
- 边界条件为 \(dp[i][0] = 0, dp[0][j] = 0\)；
- 最终答案为 \(dp[2n][k]\)。
状态转移
-
若当前为左端点：不可能构成新区间，直接继承前一状态： \(dp[i][j] = dp[i - 1][j]\)
-
若当前为右端点，有两种选择：
- 不选当前节点：\(dp[i][j] = dp[i - 1][j]\)；
- 选当前节点，枚举所有之前的左端点 \(s\)，更新为：\(dp[i][j] = \max(dp[i][j], dp[s - 1][j - 1] + \text{value}_i - \text{value}_s) \quad \text{if } \text{type}_s = l\)
转移方程汇总：
初始实现时间复杂度为 \(O(n^2k)\)，可优化查询，降至 \(O(nk \log n)\)。
问题三：股票买卖问题与区间问题的关联
问题描述
- 给定数组 \(prices\)，表示某支股票每天的价格。设计一个算法，最多完成 两笔 不重叠的买卖交易，求最大收益。
- 同样输入 \(prices\)，现在最多完成 \(k\) 笔交易，求最大收益。
分析
这是 LeetCode 中经典问题：
本质是对价格序列寻找若干个不重叠的“低买高卖”区间。观察可知：
- 任意一笔交易的有效区间应从局部最小值买入至局部最大值卖出；
- 若 \(prices[i+1] \le prices[i]\)，则应跳过，因为买入不具优势。
据此可从原始 \(prices\) 序列提取出 \(m\) 个有效的上升区间对 \((l_i, r_i)\)，满足 \(l_i < r_i\) 且 \(r_i > l_{i+1}\)，由此，原问题等价于从 \(m\) 个区间中选择最多 \(k\) 个两两不重叠区间使得 \(\sum (r_i - l_i)\) 最大，转化为问题一与问题二的形式，即可复用上述算法模型求解。
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