戳气球 动态规划

有 n 个气球，编号为0 到 n - 1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。现在要求戳破所有的气球。戳破第 i 个气球，可以获得 nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] 枚硬币。 这里的 i - 1 和 i + 1 代表和 i 相邻的两个气球的序号。如果 i - 1或 i + 1 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 1 的气球。

求所能获得硬币的最大数量。

• n == nums.length
• 1 <= n <= 300
• 0 <= nums[i] <= 100

示例 1：

输入：nums = [3,1,5,8]
输出：167
解释：
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
coins =  3*1*5    +   3*5*8   +  1*3*8  + 1*8*1 = 167

一道区间DP，在做的时候先考虑了闭区间，也就是 \(dp[i][j]\) 表示 戳掉了 \([i,j]\) 这个闭区间中所有气球得到的最大收益，递推公式如下：

\[dp[i][j]=dp[i][k-1]+dp[k+1][j]+a[k]*a[i-1]*a[j+1] \]

这样做如果直接三层循环，在 \(i=j\) 以及 \(i=j-1\) 时，数组是不更新的，需要提前初始化；并且 \(k\) 选点的时候只会选取 \([i+1,j-1]\) 这个区间中的值，不会选到 \(i\) 或者 \(j\) ，但实际情况对于闭区间 \([i,j]\) 最后戳破的气球可能是这个闭区间上的任意一点。在此基础上继续修改会使代码变得更加复杂，于是改为下面开区间的做法：

\(dp[i][j]\) 表示戳掉开区间 \((i,j)\) 中所有气球得到的最大收益，最终结果为 \(dp[0][n+1]\)。递推公式为：

\[dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k][j]+a[i]*a[k]*a[j] \]

由于是开区间，\(i,j,k\) 都是之前未取到的，所以 \(dp[i][k]\) 和 \(dp[k][j]\) 可以无缝衔接，取 \(k\) 点的收益为 \(a[i]*a[k]*a[j]\) 。

其次在具体实现中，为不添加多余的边界特判，可以将 \(nums[0] \sim nums[n-1]\) 变到 \(a[1]\sim a[n]\) ，之后初始化 \(a[0]=a[n+1]=1\)。

具体代码如下：

class Solution {
public:
    int maxCoins(vector<int>& nums) {
        int n=nums.size();
        vector<int>a(n+2);
        for(int i=0;i<n;i++)a[i+1]=nums[i];
        vector<vector<int>>dp(n+2,vector<int>(n+2));
        a[0]=a[n+1]=1;
        for(int len=2;len<=n+1;len++){
            for(int i=0;i<=n;i++){
                int j=i+len;
                if(j>n+1)break;
                for(int k=i+1;k<j;k++)
                    dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j]+a[i]*a[k]*a[j]);
            }
        }
        return dp[0][n+1];
    }
};