一、二次方程与二次曲线
定义
满足二次方程 \(A x^2 + 2Bxy + C y^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (A, B, C 不全为0)\) 的所有点的集合，称为二次曲线。
与圆锥曲线的关系
圆锥曲线一定是二次曲线，但二次曲线不一定是圆锥曲线。
二、二次曲线的变换
平移变换
根据平移公式
\[\begin{cases}
x = x' + h \\ y = y' + k
\end{cases}
\]
代入二次曲线方程，有
\[A(x' + h)^2 + 2B(x' + h)(y' + k) + C(y' + k)^2 + 2D(x'+h) + 2E(y'+ k) + F = 0
\]
整理，并用 x 代替 x'，可以得到
\[Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2(Ah + Bk + D)x + 2(Bh + Ck + E) + (Ah^2 + 2Bhk + Ck^2 + 2Dh + 2Ek + F) = 0
\]
可以发现，平移不会改变二次曲线的二次项系数。
旋转变换
根据旋转公式
\[\begin{cases}
x = x' \cos θ - y' \sin θ \\ y = x' \sin θ + y \cos θ
\end{cases}
\]
代入二次曲线方程，整理化简后可得各项系数与原系数有以下关系
\[\begin{cases}
A' = A\cos^2 θ + 2B\sin θ\cos θ + C\sin^2 θ \\
B' = (C - A)\sin θ\cos θ + B(\cos^2 θ - \sin^2 θ) \\
C' = A\sin^2 θ - 2B\sin θ\cos θ + C\cos^2 θ \\
D' = D\cos θ + E\sin θ \\
E' = -D\sin θ + E\cos θ \\
F' = F
\end{cases}
\]
我们可以发现以下结论：
- 旋转后常数项不变；
- 旋转后二次项系数只跟原二次项系数和旋转角有关，且 A' + C' = A + C；
- 旋转后一次项系数只跟原一次项系数和旋转角有关。
特别地，若 D, E = 0，则 D', E' = 0。即旋转不会增多一次项。
三、二次曲线（方程）的化简
引入
观察圆锥曲线的标准方程
\[\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1
\]
\[\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1
\]
\[y^2 = 2px
\]
我们发现它们不含二元项 xy，也不含二次项和一次项中的某些项，具有非常简洁的方程形式。
概念
如果一个二次方程不含二元项 xy，且总的项数（除 0 外）不超过 3 个，这样的方程称为最简二次方程。经过一系列平移变化和旋转变化得到最简二次方程的过程，称为二次方程的化简。
通过平移变化化简二次方程
根据上文，将坐标原点平移至 (h, k) 后的二次方程形式如下
\[Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2(Ah + Bk + D)x + 2(Bh + Ck + E) + (Ah^2 + 2Bhk + Ck^2 + 2Dh + 2Ek + F) = 0
\]
\[\begin{cases}
D' = Ah + Bk + D \\
E' = Bh + Ck + E
\end{cases}
\]
令 D' = E' = 0，我们得到二元一次方程组
\[\begin{cases}
Ah + Bk + D = 0 \\
Bh + Ck + E = 0
\end{cases}
\]
该方程组有解的充要条件为
\[\begin{vmatrix}
A & B \\
B & C
\end{vmatrix}
= 0
\]
设系数组 \(\delta = B^2 - AC\)，则 \(\delta = - \begin{vmatrix} A & B \\ B & C\end{vmatrix}\)
当 \(\delta \neq 0\)时，方程组存在唯一解\((h, k)\)，满足
\[h = - \dfrac{1}{\delta} \begin{vmatrix} B & D \\ C & E\end{vmatrix},
k = \dfrac{1}{\delta} \begin{vmatrix} A & D \\ B & E\end{vmatrix}
\]
此时
\[\begin{align*}
F' &= Ah^2 + 2Bhk + Ck^2 + 2Dh + 2Ek + F \\
&= (Ah + Bk + D)h + (Bh + Ck + E)k + (Dh + Ek + F) \\
&= Dh + Ek + F \\
&= -\dfrac{1}{\delta}
(D \cdot \begin{vmatrix} B & D \\ C & E\end{vmatrix} -
E \cdot \begin{vmatrix} A & D \\ B & E\end{vmatrix} +
F \cdot \begin{vmatrix} A & B \\ B & C\end{vmatrix}) \\
&= -\dfrac{1}{\delta} \begin{vmatrix} A & B & D \\ B & C & E \\ D & E & F\end{vmatrix}
\end{align*}
\]
设 \(\Delta = \begin{vmatrix} A & B & D \\ B & C & E \\ D & E & F\end{vmatrix}\) 为方程的另一个系数组，则有
\[F' = - \dfrac{\Delta}{\delta}
\]
分析此时曲线的性质，可知其关于原点对称，则原曲线关于点 \((h, k)\) 中心对称。
一般地，如果二次方程的系数组 \(\delta = B^2 - AC = 0\)，那么二次曲线有一个对称中心，我们称之为有心二次曲线。此时，我们可以通过平移变化消去二次方程中的一次项。
通过旋转变化化简二次方程
如果 \(B \neq 0\)，我们可以通过坐标系旋转变化消去 xy 项
根据上文，逆时针旋转 θ 后二次项的系数如下
\[\begin{cases}
A' = A\cos^2 θ + 2B\sin θ\cos θ + C\sin^2 θ \\
B' = (C - A)\sin θ\cos θ + B(\cos^2 θ - \sin^2 θ) \\
C' = A\sin^2 θ - 2B\sin θ\cos θ + C\cos^2 θ \\
\end{cases}
\]
令 B' = 0，可得
\[\begin{align*}
B' &= (C - A)\sin θ\cos θ + B(\cos^2 θ - \sin^2 θ) \\
&= B \cos 2θ - \dfrac{A - C}{2} \sin 2θ \\
&= 0
\end{align*}
\]
因此
\[\cot 2θ = \dfrac{A - C}{2B} \Rightarrow θ = \dfrac{1}{2} arccot \dfrac{A - C}{2B}
\]
此时，由
\[\sin 2θ = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 2θ}}
\]
\[\cos 2θ = \dfrac{\cot 2θ}{\sqrt{1 + \cot^2 2θ}}
\]
可得
\[A' = \dfrac{A + C}{2} + \dfrac{B}{\sin 2θ}
\]
\[C' = \dfrac{A + C}{2} - \dfrac{B}{\sin 2θ}
\]
若原二次方程无一次项，则旋转后的二次方程也无一次项。因为平移变化相较于旋转变化更为简单，因此在 \(\delta \neq 0\) 的情况下, 我们优先使用平移变化化简。
小结
- 含有一次项且 \(\delta \neq 0\): 优先平移变化
- 不含一次项或 \(\delta = 0\) 且 \(B \neq 0\): 优先旋转变化
- \(B = 0\) 且 \(\delta = 0\)：具体分析(配方加平移)
浙公网安备 33010602011771号