时间复杂度&空间复杂度

对于程序而言，随着输入数据的扩大，程序相应处理时间也相应增长。描述算法的执行时间，将算法执行时间的变化趋势描述为输入规模的一个函数。称作时间复杂度(time complexity)记作 T(n)所谓算法的复杂度分析，其实就是针对算法的基本操作数进行比较。基本操作数就是算法最本质的操作，例如排序算法的比较

由于不同操作系统编译程序的差异性，同一程序在不同系统上的运行时间不尽相同，所以我们将总时间细分，通过累计计算程序每条语句的执行时间，再将时间求和，所得的便是总时间T(n)

大O记号

首先关注T(n)的上界，对于任一的T(n)，总是存在一个值，使得：

\(T(n) \leq C * f(n)\)

我们记该上界为O(n)，于是有：

\(O(f(n)) = O(C*f(n))\)

很明显，为了方便分析，假设T(n)是一个高次函数。对于一个高次函数，可以直接忽略常数C和其他的低次项，所以我们可以得到如下的性质：

\(O(f(n)) = O(C*f(n))\)

所以可以省略最高次方前的常数项。

对于任意常数， a > b > 0，有：

\(O(n^a + n^b) = O(n^a)\)

举个例子

void bubbleSort(int group[],int n) 
{
    bool issorted = false;
    while(!issorted) {
        issorted = true;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            if(group[i-1] > group[i]) {
                swap(group[i-1],group[i]);
                issorted = false;
            }
        }
        n--;
    }
}

观察上面的冒泡排序算法，找到它的时间复杂度。

观察，可知该算法时间复杂度不超过

\(O(2*(n-1)^2)\)

化简：

\(O((n-1)^2)\)

再化简：

\(O(n^2)\)

我们就找到了它的时间复杂度

最好，最坏情况

上面的计算方法，实际上是对于时间长度大小的最保守估计，显然，任何情况都不会超出这个值。

但我们仍然不能排除更好的，更坏的情况，需要具体问题具体分析。例如采用加权平均的方法，得到理想结果。

• 最好情况

  存在一个常数C和某个函数G(n)，使得：

  \(T(n) \geq C * g(n)\)

  就可认为，n足够大后，G(n)给出了T(n)的渐进下界：

  \(T(n) = \Omega(g(n))\)

• 中间情况

  存在常数\(C_1\),\(C_2\) ，使得：

  \(C_1 * h(n) \leq T(n) \leq C_2 * h(n)\)

  可以记作：

  \(T(n) = \Theta(h(n))\)

最后，我们可以通过一张照片直观的看出其中的区别：