向量和矩阵范数

向量的 1-范数、2-范数、无穷范数、p-范数;

矩阵的 1-范数、2-范数、无穷范数、L0范数、L1范数、L2范数、L21范数、核范数

1 向量范数

  例:向量 X = [2,3,-5,-7 ]

1.1 向量的1-范数

  向量各个元素的绝对值之和:

  例:‖X‖1 = 2+3+5+7 = 17

  matlab代码:norm (X, 1)

1.2 向量的2-范数

  向量各个元素的平方和再开方:

  例:‖X‖2 = (2×2+3×3+5×5+7×7)1/2 = 9.3274

  matlab代码:norm (X, 2)

1.3 向量的无穷范数

  向量元素绝对值中的最大值:

  例:‖X‖+∞ = 7

  matlab代码:norm (X, inf)

  向量元素绝对值中的最小值:

  例:‖X‖-∞ = 2

  matlab代码:norm (X, -inf)

1.4 向量的p-范数

  其中 p ≥ 1,且存在:

2 矩阵范数

  例:矩阵 A = [2,  3 ,-5,-7;

          4,  6 , 8,-4;

          6,-11,-3,16]

 2.1 矩阵的1-范数

  矩阵每列元素绝对值之和中最大的值:

  例:‖A‖1 = 27

  matlab代码:norm (A, 1)

 2.2 矩阵的2-范数

  矩阵 ATA 的最大特征值开方:

  matlab代码:norm (A, 2)

 2.3 矩阵的无穷范数

  矩阵每行元素绝对值之和中最大的值:

  matlab代码:norm (X, inf)

//下面几个范数是机器学习中稀疏表示等地方常用到的,这些范数都是为了解决实际问题中的困难而提出的。

 2.4 矩阵的L0范数

  矩阵的非0元素的个数,通常用它来表示稀疏,L0范数越小0元素越多,也就越稀疏。

 2.5 矩阵的L1范数

  矩阵中的每个元素绝对值之和,它是L0范数的最优凸近似,因此它也可以近似表示稀疏,比L0更容易优化求解。

  matlab代码:sum(sum(abs(A)))

 2.6 矩阵的L2范数

  也叫做 F 范数,矩阵的各个元素平方之和再开平方根,它的优点在于它是一个凸函数,可以求导求解,易于计算。

  matlab代码:norm(A,'fro');

 2.7 矩阵的L21范数

  矩阵先以每一列为单位,求每一列的(向量)1-范数,然后再将得到的结果求(向量)2-范数,很容易看出它是介于L1和L2之间的一种范数。

  matlab代码:norm(A(:,1),2) + norm(A(:,2),2) + norm(A(:,3),2)++ norm(A(:,4),2);

 2.8 矩阵的核范数

  矩阵的奇异值之和,这个范数可以用来低秩表示(因为最小化核范数,相当于最小化矩阵的秩)。

  matlab代码:sum(svd(A));

 

posted @ 2020-07-31 23:27  sun-a  阅读(1803)  评论(1编辑  收藏  举报