IQR四分位数法是什么？

IQR（Interquartile Range，四分位距）四分位数法是一种统计学中用于描述数据离散程度、识别异常值的重要工具。它通过数据的四分位数（Quartiles）来刻画数据的分布特征，尤其适用于非正态分布或存在离群点的场景。以下从核心概念、计算方法、应用场景和理解要点展开说明：

一、核心概念：四分位数与IQR

1. 四分位数（Quartiles）

将一组有序数据（从小到大排列）划分为4个相等部分的三个关键分割点，分别记为：

• Q1（第一四分位数，25%分位数）：数据中25%的数值小于或等于它（即第25百分位数）。
• Q2（第二四分位数，中位数）：数据中50%的数值小于或等于它（即第50百分位数，Median）。
• Q3（第三四分位数，75%分位数）：数据中75%的数值小于或等于它（即第75百分位数）。

例如，数据集 [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13] 的中位数是7（Q2）；前半部分 [1,3,5] 的中位数是3（Q1），后半部分 [9,11,13] 的中位数是11（Q3）。

2. IQR（四分位距）

IQR = Q3 - Q1，表示中间50%数据的分布范围（即数据在Q1到Q3之间的“宽度”）。它是衡量数据离散程度的稳健指标（不受极端值影响）。

二、IQR四分位数法的核心作用：识别异常值

IQR法最常用的是通过“箱线图（Box Plot）”或“Tukey’s Fences”规则识别异常值（Outliers）。具体步骤如下：

1. 计算上下边界

以IQR为基准，定义数据的“正常范围”：

• 下边界（Lower Bound）：Q1 - 1.5×IQR
• 上边界（Upper Bound）：Q3 + 1.5×IQR

2. 判定异常值

• 温和异常值（Mild Outliers）：小于下边界或大于上边界的数据点（通常用1.5×IQR界定）。
• 极端异常值（Extreme Outliers）：小于Q1 - 3×IQR 或大于Q3 + 3×IQR 的数据点（更严格的阈值）。

逻辑：正常数据应集中在中间50%（Q1到Q3），而超出1.5倍IQR的点被视为“偏离较远的异常”。1.5倍的选择是经验性的（基于正态分布假设下约覆盖99.3%的数据，剩余0.7%视为异常）。

三、应用场景

1. 数据清洗：识别并验证离群点（如传感器误差、输入错误）。
2. 可视化分析：箱线图的核心组件（箱体表示Q1到Q3，触须延伸至非异常值的最远点，异常值单独标记）。
3. 统计描述：替代标准差（SD）衡量离散程度（尤其当数据非正态时，IQR更稳健）。

四、如何理解IQR法的优势与局限

优势：

• 稳健性：仅依赖中间50%的数据，不受极端值干扰（标准差易受异常值影响）。
• 普适性：适用于任何分布（无需假设数据正态）。
• 直观性：通过四分位数直接反映数据的集中与分散趋势。

局限：

• 主观性：1.5倍IQR是经验阈值，不同领域可能调整（如金融风控可能用3倍）。
• 小样本偏差：样本量过小时（如n<10），四分位数估计可能不稳定。
• 无法反映分布形态：仅描述离散程度，不体现数据的对称性或峰度。

五、示例说明

假设数据集：[12, 15, 17, 19, 20, 22, 24, 28, 30, 35, 40, 100]（已排序）。

1. 计算四分位数：

   • n=12，中位数Q2是第6和第7个数的平均：(22+24)/2=23。
   • Q1是前6个数的中位数：(17+19)/2=18（前6数：12,15,17,19,20,22）。
   • Q3是后6个数的中位数：(30+35)/2=32.5（后6数：24,28,30,35,40,100）。

2. 计算IQR：IQR=Q3-Q1=32.5-18=14.5。

3. 确定边界：

   • 下边界=18 - 1.5×14.5=18-21.75=-3.75
   • 上边界=32.5 + 1.5×14.5=32.5+21.75=54.25

4. 识别异常值：数据中100>54.25，因此100是异常值；其他数据点均在[-3.75, 54.25]范围内。

总结

IQR四分位数法通过“中间50%数据的范围”（IQR）量化离散程度，并通过1.5倍IQR的边界识别异常值。它的核心是关注数据的主体分布，忽略极端干扰，是探索性数据分析（EDA）中简单却强大的工具。理解其逻辑的关键在于把握“四分位数划分数据、IQR衡量主体波动、边界外视为异常”这一链条。