ARC212C

C - ABS Ball

Sol

我觉得很好的数数题，记一下。

直接尝试组合意义，对于 \(\prod_{1\leq i \le M}|a_i-b_i|\) 这个式子，可以将其视作对于每个箱子内部的球先红色蓝色两两配对，然后在每个箱子中选出一个球的方案数。

考虑枚举总配对数 \(s\)，则对于 \(s\) 的分配方案是容易计算的，直接隔板法就好 \(\binom{s+m-1}{m-1}\) 。

然后考虑对于每个箱子，剩下的球是什么颜色，这一部分的计算也是容易的，直接就是 \(2^m\) 。

那么现在需要计算的就是，有 \(n-2s\) 个球，先分配给 \(m\) 个箱子，每个箱子不为空（空了没贡献），然后再从每个箱子中拿一个球出来的方案数。

关于分配方案仍然需要用隔板法来做，我们可以将隔板也视作一个球，那么最终方案实际上是一排 \(n-2s+m-1\) 个球。

而对于从每个箱子中选出一个球，等价于是在每两个隔板球之间选一个球（第一个和最后一个就是在一段前缀和后缀里面选择）。

所以不妨将问题等价于在 \(n-2s+m-1\) 个球中，选出 \(2m-1\) 个球，其中奇数位置的球为每个箱子拿出来的，偶数位的为隔板。

这部分的贡献就是 \(\binom{n-2s+m-1}{2m-1}\)

答案为：

\[\sum_{s}2^m\binom{s+m-1}{m-1}\binom{n-2s+m-1}{2m-1} \]

一些总结

首先是对于这样形式的计算式子： \(\prod a_i\)，可以考虑它的组合意义为从每个箱子中选一个球出来的方案数。

如果还需要进一步考虑分配，则可以尝试上述把 要选出来的球 和 隔板 合在一起选的方法。

还有就是可以把插入的隔板考虑为最终分配方案中的球来思考。