数位 DP 练习笔记

P1836 数页码

不想写数位 DP 的可以参考该做法。

枚举数字 \(x=0\sim 9\)，考虑其在第 \(i\) 位上的贡献。将 \(n\) 拆成当前位左边部分 \(a\)、当前位 \(b\)、当前位右边部分 \(c\)。分类讨论：

• \(x<b\)。\(0\sim a\) 有 \(10^{i-1}\) 的贡献；
• \(x=b\)。\(0\sim a-1\) 有 \(10^{i-1}\) 的贡献，\(a\) 有 \(c+1\) 的贡献；
• \(x>b\)。\(0\sim a-1\) 有 \(10^{i-1}\) 的贡献。

特殊地，因为不能有前导零，所以当 \(x=0\) 时 \(10^{i-1}\) 的贡献会少一次，但不用判因为 \(x=0\) 相当于没有贡献……

P1590 失踪的 7

这么简洁的题目当然不用数位 DP 啦。

将 \(n\) 搞成 \(10\) 的幂次之和计算。比如说 \(1234\) 就拆成 \(1\sim 4,1\sim 30,1\sim 200,1\sim 1000\) 来计算。枚举后缀长度 \(i\)，除去最高位外的每一位都可以填除 \(7\) 以外的任何数字，所以它的贡献为 \(9^{i-1}\) 再乘上最高位能填的数字（不为 \(7\) 且小于最高位的数字）。

不过这样处理本质是把所有数减 \(1\) 然后从 \(0\) 开始计数，当最高位数字为 \(1\) 时会多算一次，要减掉。

虽然题目保证了 \(n\) 本身不包含数字 \(7\)，但这个做法可以轻松地拓展到对 \(n\) 没有限制的情况：如果除去当前枚举的后缀外前面还有 \(7\)，直接把当前后缀的贡献记为 \(0\)。