连通性相关

一些概念

连通：无向图中任意两点都可以互相到达。
强连通：有向图中任意两点都可以互相到达。
连通分量：无向图的极大连通子图。
强连通分量：有向图的极大强连通子图。

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DFS 生成树：对一张图进行深度优先遍历得到的生成树。
树边：在 DFS 生成树上的边。
前向边：由子树的根连向子树内的非树边。
返祖边：由结点连向其祖先的边。
横叉边：除上面三种以外的边，也就是两棵不交子树之间的边。

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割点：无向图删除某个点及其为端点的所有边后，若图的连通块数量增加，则该点是图的一个割点。
割边（桥）：无向图删除某条边后，若图的连通块数量增加，则该边是图的一条割边。
点双连通图：不存在割点的无向连通图。
边双连通图：不存在割边的无向连通图。
点双连通分量：无向图的极大点双连通子图。
边双连通分量：无向图的极大边双连通子图。

核心思路

以 DFS 生成树为基础，通过维护点的信息，判断当前搜索的位置能否与祖先连通。

缩点（求强连通分量）

对于每个点 \(u\)，记录两个信息 \(dfn_u\) 和 \(low_u\)。

\(dfn_u\) 表示时间戳，即 \(u\) 是第几个被遍历到的。\(low_u\) 表示从 \(u\) 开始，不经过已经找出的强连通分量所能到达的最小时间戳，因为从外界进入已经找出的强连通分量肯定无法回到原点。

在 DFS 的过程中，将经过的点塞进栈里面，递归完后一旦发现 \(low_u=dfn_u\) 就说明 \(u\) 无法离开以其为根的子树。此时一直弹栈直至弹出 \(u\)，弹出的这些点就构成了一个强连通分量。

重点在于更新 \(low_u\) 的过程，枚举 \(u\) 的每条出边 \((u,v)\)：

• \(v\) 未遍历过即 \((u,v)\) 为树边。先递归处理 \(v\)，然后令 \(low_u\gets\min(low_u,low_v)\)。
• \(v\) 已遍历过：
  • \(v\) 位于已经找出的强连通分量中，直接跳过。
  • \(v\) 不在已经找出的强连通分量中，同样令 \(low_u\gets\min(low_u,low_v)\)。因为 \(v\) 一定能走到两点的 LCA 处进而走到 \(u\)，否则 \(v\) 在 LCA 对应子树的根处肯定形成了一个强连通分量，与前提不符。

但这样存在一个问题，\(low\) 有时无法更新完全，如下图：

按照 \(1\to 2\to 3\) 的顺序，假设先遍历绿色边再遍历红色边，那么就会在 \(low_2\) 没有更新完全时就去递归处理 \(3\) 号点，进而导致 \(low_3\) 无法更新完全。

这个问题不能避免，具体可以考虑某点的两棵子树内都有通往更上面的返祖边，而哪边的 \(low\) 更小我们是无法预知的，不能通过调整出边顺序解决。所幸我们只关心 \(dfn\) 和 \(low\) 的相对大小。

出于严谨，给 \(low\) 的定义增加最多经过一条非树边的条件，然后将第二处更新改为 \(low_u\gets\min(low_u,dfn_v)\) 就没有问题了。

割点

把无向图看成有向图，容易发现不存在横叉边，返祖边由树边和前向边组成。

随便钦定一个根结点，如果其存在两棵及以上的子树说明它是割点。然后考虑剩下的点。

\(dfn\) 定义不变，\(low\) 改成最多经过一条返祖边（反向经过一条前向边或树边）。如果存在边 \((u,v)\) 其中 \(u\) 是 \(v\) 的父亲满足 \(low_v=dfn_u\) 就说明 \(v\) 子树中的点如果不经过 \(u\) 就无法与祖先连通了，即 \(u\) 是一个割点。这里也能看出特殊处理根的原因是根没有祖先。

需要注意的是，删除点的同时会删除以其为端点的所有边，所以经过返祖边的更新不能写 \(low_v\) 必须写 \(dfn_v\)，否则相当于允许中途经过割点了会判断错误。

割边

\(dfn\) 定义不变，\(low\) 改成最多反向经过一条前向边。不能反向经过树边了，因为我们要判断的就是树边能否不经过。

非树边不可能是割边。如果树边 \((u,v)\) 其中 \(u\) 是 \(v\) 的父亲满足 \(low_v>dfn_u\) 就说明 \(v\) 子树中的点如果不经过 \((v,u)\) 就无法与祖先连通了，即 \((u,v)\) 是一条割边。

需要注意反向经过一条树边的处理，出现重边时要特判一下。

因为删的是边所以反向经过一条前向边的更新可以写成 \(low_v\)。

点双连通分量

每次删除割点，将当前图分成若干个不连通的子图，然后将割点重新加入每个子图。如果找不到割点就说明当前图已经是原图的一个点双连通分量了。

但是具体实现没必要这么麻烦，因为连通分量都是嵌套在子树中的，一样用栈维护。当 \(low_v=dfn_u\) 就一直弹栈直至弹出 \(v\)，弹出的这些点加上 \(u\) 就构成了一个点双连通分量。

根不用特判直接当成割点做，因为无论如何都要结束了。孤立点也是一个点双连通分量，要特判。如果有自环最好去掉，方便用是否有连边判断孤立点。

边双连通分量

把割边标记为不能经过就可以分割出所有边双连通分量了。