【11.21模拟赛T4】 —神奇数论之构造exgcd

给出正整数 \(a,b,c,m\) ，其中 \(a,b,c\) 两两互质，\(T\) 组数据，任意一个三元组 \((x,y,z)\) 满足：

\[(x^a+y^b)\ mod\ m\equiv (z^c)\ mod\ m,\ x,y,z\in (0,m)\cap Z \]

\(a,b,c\le 10^9, 3\le m\le10^9, T\le 10^5\)

首先他有一个部分分：\(m\) 为 \(2\) 的整次幂

这时我们不难发现，\(x,y,z\) 全取 \(m\over 2\) 时， \(mod\ m\) 后全变为 \(0\)，合法。

这时思考原题目，发现可以尝试将 \(x,y,z\) 变为 \(2^t\) 的形式，这样带来的好处就是，将未知数由底数转移到和参数同一位置，从而变成形式更美观的不定方程。

即：令 \(x=2^{kb},y=2^{ka},z=2^l\)

\[\begin{aligned} 2^{kab}+2^{kab}&=2^{cl} \\ kab+1&=cl \\ cl-kab&=1 \end{aligned} \]

这个方程显然可以用 exgcd 来解。

但对于 \(m=2^t,(t\ge2)\) 时，无法求出 \((0,m)\) 中的解，此时用前面的方法特判即可。