【[HNOI2011] 卡农】--巧妙的推式子+容斥

[HNOI2011] 卡农 - 洛谷

很好的推式子题，消除了我对容斥的刻板印象😢

本以为是以类似于在【第 \(i\) 个数出现偶数次】的基础上，做 \(|\bigcup_{i=1}^n{A_i}|\) 这种容斥的

哎，直接上 solution 吧。

因为无序不好做，那就用有序来做

经典地，设 \(f_i\) 为只考虑前 \(i\) 个集合的答案

那么前 \(i\) 个对应的 \(A_{2^n-1}^{i-1}\) 种选择，每一种方案，都对应了当前的一种唯一的选法

• 有可能之前已经为偶数次，当前为空集，减去 \(f_{i-1}\)
• 有可能和之前选过的集合 \(j\) 重复，那么去掉 \(i,j\) 便为合法，减去 \(f_{i-2}\times(i-1)\times(2^n-1-(n-2))\) 。

\[f_i=A_{2^n-1}^{i-1}-f_{i-1}-f_{i-2}\times (i-1)\times (2^n-i+1) \\ \text{ans} = \frac{f_n}{n!} \]

妙