浅谈二维数点

浅谈二维数点

1. 序列上的二维数点

这个问题显然是简单的，离线后按照 \(x\) 排序后第一维扫描，第二位 \(BIT\) 的二维偏序

时间复杂度 \(O(n\log n)\)，空间复杂度 \(O(n)\)

那么如果在线呢？😕

经典的主席树问题，以下标为版本，建可持久化线段树

时间复杂度 \(O(n\log n)\)，空间复杂度 \(O(n\log n)\)

2.树上二维数点（子树的交）

对于两棵树，若我们想求出其上两个子树的节点交，其实将树拍扁成 \(dfs\) 序后，是和序列上的二维数点等价的

但对于某些题目，有些更为巧妙的做法

P9196 [JOI Open 2016] 销售基因链

给定 \(n\) 个字符串，\(m\) 次询问，每次求同时以 \(S\) 为前缀，\(T\) 为后缀的字符串有多少

\(n,m,\sum{|s_i|},\sum{|S|},\sum{|T|} \le 2\times 10^6\)

做法：建出正反两个 Trie，求其询问串对应的两个子树的交

离线。将 \(s_i\) 升序排序，把每个询问的 \(S\) ，用正 Trie 映射到 \([1,n]\) 上的一个区间，再按降序排序，做扫描线即可。这种做法无需 \(BIT\)

3.带修二维数点

首先在线可以树套树（带修主席树）时间 \(O(n\log^2 n)\)

离线可以 CDQ 分治，增加时间维度，变成三维偏序 \(O(n\log^2n)\)