BZOJ_2693_jzptab_莫比乌斯反演

BZOJ_2693_jzptab_莫比乌斯反演

Description

Input

一个正整数T表示数据组数

接下来T行 每行两个正整数 表示N、M

Output

T行 每行一个整数 表示第i组数据的结果

Sample Input

1

4 5

Sample Output

122

HINT
T <= 10000

N, M<=10000000

---

 

$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}lcm(i,j)$

$=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\frac{i*j}{gcd(i,j)}$

$=\sum\limits_{p=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{p} \rfloor}
\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{p} \rfloor} i*j*p*[gcd(i,j)=1]$

$=\sum\limits_{p=1}^{n}p\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{p} \rfloor}
\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{p} \rfloor} i*j
\sum\limits_{d|gcd(i,j)}\mu(d)$


$=\sum\limits_{p=1}^{n}p
\sum\limits_{d=1}^{n/p}\mu(d)*d^{2}
\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n/p}{d} \rfloor}
\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{m/p}{d} \rfloor} i*j
$

设$s[n]=\sum\limits_{i=1}^{n}i$

$=\sum\limits_{p=1}^{n}p
\sum\limits_{d=1}^{n/p}\mu(d)*d^{2}*
s[\lfloor\frac{n/p}{d} \rfloor]*
s[\lfloor\frac{m/p}{d} \rfloor]
$

设$Q=d*p，先枚举Q$

$=\sum\limits_{Q=1}^{n}
s[\lfloor\frac{n}{Q} \rfloor]*
s[\lfloor\frac{m}{Q} \rfloor]
\sum\limits_{d|Q}\mu(d)*d^{2}*\lfloor\frac{Q}{d} \rfloor
$

设$f[n]=\sum\limits_{d|n}\mu(d)*d^{2}*\lfloor\frac{n}{d} \rfloor
=n\sum\limits_{d|n}\mu(d)*d$

$=\sum\limits_{Q=1}^{n}
s[\lfloor\frac{n}{Q} \rfloor]*
s[\lfloor\frac{m}{Q} \rfloor]*f[Q]
$

$然后发现f[n]=n*g[n],g[n]为 id卷\mu 的积性函数$

$我们可以处理出f[n]的前缀和，然后O(\sqrt{n})处理即可$

$mdlswl$