生成函数应用
生成函数应用
- 二项式系数上指标扩展至整数域
\[\binom n m=\binom {m-n-1} m
\]
- 常见生成函数
\(G(x)\) | \(a_k\) |
---|---|
\(\frac 1 {1-x}=\sum\limits_{k=0}^\infty x^k\) | 1 |
\(\frac 1 {1-ax}=\sum\limits_{k=0}^\infty a^kx^k\) | \(a^k\) |
\(\frac 1 {(1-x)^2}=\sum\limits_{k=0}^\infty (k+1)x^k\) | \(k+1\) |
3.应用
\(\sum\limits_{k=1}^6a_k=50,(a_i\geq3,a_i\in Z)\),求解集个数。
\[\begin{aligned}
\\&[x^{50}](\sum\limits_{k=3}^\infty x^k)^6
\\&=[x^{50}](\frac {x^{3}} {1-x})^6
\\&=[x^{32}](1-x)^{-6}
\\&=\binom {-6} {32}
\\&=\binom {37} {32}
\end{aligned}
\]