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生成函数应用

生成函数应用

  1. 二项式系数上指标扩展至整数域

\[\binom n m=\binom {m-n-1} m \]

  1. 常见生成函数
\(G(x)\) \(a_k\)
\(\frac 1 {1-x}=\sum\limits_{k=0}^\infty x^k\) 1
\(\frac 1 {1-ax}=\sum\limits_{k=0}^\infty a^kx^k\) \(a^k\)
\(\frac 1 {(1-x)^2}=\sum\limits_{k=0}^\infty (k+1)x^k\) \(k+1\)

3.应用

\(\sum\limits_{k=1}^6a_k=50,(a_i\geq3,a_i\in Z)\),求解集个数。

\[\begin{aligned} \\&[x^{50}](\sum\limits_{k=3}^\infty x^k)^6 \\&=[x^{50}](\frac {x^{3}} {1-x})^6 \\&=[x^{32}](1-x)^{-6} \\&=\binom {-6} {32} \\&=\binom {37} {32} \end{aligned} \]

posted @ 2023-04-09 17:07  魔幻世界魔幻人生  阅读(19)  评论(0)    收藏  举报