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【组合数学】错位排序

错位排序:编号为 \(1\)\(n\) 的球装进编号 \(1\)\(n\) 的盒子里,问每个球与它所在的盒子编号都不同的方案数。

公式:设 \(D_n\) 表示 \(n\) 个球的方案数,则:\(D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\)

证明

\(D_n\) 前的都已求出,现在装第 \(n\) 个球:

规定 \(n\) 号装进 \(k\) 号盒子 ,再装 \(k\) 号球:

  • \(k\) 号球一定装进 \(n\) 号盒子,则剩余 \(n-2\) 个球错位排序,共 \(D_{n-2}\)
  • \(k\) 号球不能装进 \(n\) 号盒子,则等价于 \(n\) 号盒子当成 \(k\) 号盒子 ,这就变成把 \(n-1\) 个球错位排序,共 \(D_{n-1}\)

\(k\) 的范围是 \(1\)\(n-1\),所以 \(D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\) ,证毕。

posted @ 2022-08-24 00:05  魔幻世界魔幻人生  阅读(147)  评论(0)    收藏  举报