2.进制与转换

一、二进制

1.进制：人为规定的一种计数规则。

   进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法(有不带进位的计数方法，比如原始的结绳计数法，唱票时常用的"正"字计数法，以及类似的tally mark计数)。 对于任何一种进制---X进制，就表示每一位置上的数运算时都是逢X进一位。 十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，x进制就是逢x进位。

   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    所谓逢十进一，可以理解为当要变成10的时候，一位数字不够表达了，我们可以向前一位借一位，然后地位补0.

2.二进制

    二进制：逢二进一的一种计数规则。

     是计算中广泛采用的一种进制。二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”。由18世纪德国数理哲学大师莱布尼兹发现。当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，数据在计算机中主要是以补码的形式存储的。计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用1来表示“开”，0来表示“关”。

（1）二进制是什么

    （a）进制：一种人为规定的计数规则。

    （b）二进制：逢 2 进 1 的一种计算规则。

（2）二进制介绍

    （a）在二进制里“基数”只有 0 和 1。

    （b）二进制被当前广泛的应用 于计算机当中。（计算机只能读懂0和1）

（3）计算机如何理解0和1

    现代计算机都是通电进行工作，当电流走过设备的时候必然会产生电压，此时就人为的设定规则，取了一个电压值，比这个值大的叫高电位，用数字1表示，比之值值小的叫低电位，用数字0表示。基于这种原理，此时的计算机可以认识0和1了。刚好0与1又是二进制当中的基数。（计算机应用了二进制）。

（4）计算机采用二进制的好处

    （a）二进制技术实现简单，状态稳定。

    （b）二进制里只有0和1两个基数，刚好与程序语言当中的“真”和“假”对应。（全世界都人为的认为1可以代表程序语言当中真，0可以代表程序语言当中的假）。

    （c）二进制数值可以很容易的转换成十进制。

3.常见的数学进制

（1）二进制：基数是0、1，逢二进1

（2）八进制：基数是0~7，逢八进1

（3）十进制：基数是0~9，逢十进1

（4）十六进制：基数是0~9、A、B、C、D、E、F，逢十六进一

4.常用进制的换算

 

 

　其它进制转十进制与该方法类同

         ①先确定当前数字的位数，然后从右向左数，依次是低位到高位；

         ②记下每位数字所在位数N（由当前所在位数决定）；

         ③取出每一位上的数字m，然后用这个 m （m不是一个固定数字，它是当前位上锁具有的数字）去乘以当前进制的 N-1 次方；

         ④将每位上的相乘结果进行相加，最后的和据说该数值所最有的十进制。

（1）.二进制转十进制

　方法：按权运算。 例如10101（2）——>?（10）

　                   从左至右：1*2^（5-1）+  0*2^（4-1）） + 1*2^（3-1） + 0*2^（2-1）+1*2^（1-1） = 21

 

（2）.十进制转二进制

常见的方法——短除法：

    （a）用这个十进制的数值除以2，得到一个商和余数；

    （b）判断当前的商是否为0，如果这个商不为0，那么继续用这个商除以2；

    （c）直到某一次商为0时结束，我们需要的就是将这个除法过程中产生的余数从后往前反向排列；

    （d）最终的排列结果就是当前这个十进制转换成二进制的数值。

    例如34（10）——>？（2）

　　34 / 2 =17 余0

　　17 / 2 = 8 余1

　　8 / 2 =4 余0

　　4 / 2 =2 余0

　　2 / 2 =1 余0

　　1 / 2 = 0 余1

　　结果就是余数从下往上写 即100010，其余进制转二进制可以先转十进制，再转二进制

 

（3）.十进制转八进制

使用短除法，具体参考十进制转二进制

 

（4）八进制转十进制

方法:按权运算（同二进制转十进制的方法相同）

eg：八进制120转换成十进制

1*8^2+2*8^1+0*8^0=80

（5）其它进制转换十进制

    （a）  先确定当前数字的位数，然后从右向左数，依次认为是低位到高位。

    （b）记下每位数字所在的位数N（N不是一个固定的数字，由当前所在位数决定）。

    （c）取出每一位上的数字m，然后用这个m去乘以当前进制的N-1次方。（m不是固定的，它是当前为上的数字）

    （d）将每位上的香橙结果进行相加，最后的和就是该数值所对应的十进制值。

eg：11101    这是一个5位数的二进制数字,转化成十进制

        1*2^(5-1)+  1*2^（4-1）） + 1*2^（3-1） + 0*2^（2-1）+1*2^（1-1） = 29

可通过在线进制转换工具（https://www.sojson.com/hexconvert.html）进行验证.

(6)其它进制转二进制

    （a）八进制转二进制

        i）将八进制当中的所有基数都转换成二进制（注意八进制转换成二进制候，需要用三位数来表示。如：0是八进制的那么在用二进制表示的时候要写成000）

        ii）将转换的的数值进行拼接。

        iii）0------000

             1------001

             2------010

             3------011

             4------100

             5------101

             6------110

             7------111

120——001 010 000

    （b）十六进制转二进制

          i)将十六进制中的所有基数转成二进制（注意十六进制转换成二进制候，需要用四位数来表示。如：0是十六进制的那么在用二进制表示的时候要写成0000）；

         ii）将转换的的数值进行拼接。

             0------0000

             1------0001

             2------0010

             3------0011

             4------0100

             5------0101

             6------0110

             7------0111

             8------1000

             9------1001

            A------1010

            B------1011

            C------1100

            D------1101

            E------1110

            F------1111

 

EF（十六进制的数值），转换成二进制后的结果是：1110 1111