离散数学笔记（一）集合

1. 朴素集合论（康托尔）-> 理发师悖论

2. 公理化集合论：外延公理+空集存在公理+无序对公理+并集公理+幂集公理+无穷公理+替换公理+正则公理+选择公理（ZFC公理化集合论）

集合概念

1. 用带或不带下标的大写字母和下标表示集合，用带或不带下标的小写字母表示元素

2. 常见集合：自然数集合N，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R

3. 表示：

   • 枚举法：A={a, b, c, d} B=

   • 叙述法：P={x | P(x)}， A =

   • 文氏图法：venn图

4. 特性：无序、不同

其他概念

1. 基数：集合中的元素个数 |A|，如果集合中元素个数有限就是有限集合，否则为无限集合

2. 属于：如果a是集合A中的元素，a属于A，a∈A，否则a不属于A，a∉A

3. 相等：如果两个集合具有相同的元素，那么两个集合相等

4. 空集：不含任何元素的集合是空集，记作φ

5. 全集：针对某一个范围，考虑的所有对象组成全集，记作U或者E

6. 子集：如果A中包含B中的所有元素，那么B是A的子集，此时如果B≠A，那么B是A的真子集

7. 幂集：A的所有子集构成它的幂集，包括空集和本身

可数集合和不可数集合

  可数集合：如果AB之间存在一一对应的关系，\({\psi : A \to B}\)，则A和B等势，记作 A~B

  不可数集合：开区间(0,1)是不可数集合， 与开区间(0,1)等势的集合是不可数集合，该集合的基数为阿列夫 \({\aleph}\)

集合运算

运算种类

1. 并运算∪：两个集合中所有元素的集合（连并 \({\bigcup\limits_{i=1}^{n}}\)）

2. 交运算∩：两个集合中共同的元素（连交 \({\bigcap\limits_{i=1}^{n}}\)）

3. 补运算 \(^-\)：不在集合A中但是在全集U中的元素的集合

4. 差运算-：A-B，在A中不在B中的元素集合

5. 对称差⊕：(A-B)+(B-A)

运算定律

1. 幂等律：\({A \cup A=A}\)， \({A \cap A=A}\)

2. 交换律：\({A \cup B=B \cup A}\)， \({A \cap B=B \cap A}\)

3. 结合律：\({(A \cup B) \cup C=A \cup (B \cup C) }\)， \({(A \cap B) \cap C=A \cap (B \cap C)}\)

4. 同一律：\({A \cup ∅=A}\)， \({A \cap U=A}\)

5. 零律：\({A \cap ∅=∅}\)， \({A \cup U=U}\)

6. 分配律：\({A \cup (B \cap C)=(A \cap C) \cup (A \cap B)}\)， \({A \cap (B \cup C)=(A \cup C) \cap (A \cup B)}\)

7. 吸收律：\({A \cup (a \cap B)=A}\)， \({A \cap (A \cup B)}\)=A

8. 矛盾律和排中律：\({\overline{A} \cap A=∅}\)， \({\overline{A} \cup A=U}\)

9. 双重否定律：\(\overline{\overline{A}}=A\)

10. 德摩根律：\({\overline{A \cup B}= \overline{A} \cap \overline{B}}\)，\({\overline{A \cap B}= \overline{A} \cup \overline{B}}\)

参考资料

中国大学MOOC 离散数学