背包九讲

背包九讲

01背包(至多体积最大价值型)

题目链接：01背包
题目：

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

解答：
此题需要使用按照减而治之的思想，动态规划的方式进行处理。
时间复杂度：O(n * m)
具体状态转移方程为：
dp[i][j]代表在i件物品的情况下，体积j能容纳的最大价值。
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]] + w[i])：

1. 当不拿取第i件物品时，最大价值为dp[i-1][j]。
2. 当拿取第i件物品时，最大价值为dp[i-1][j - v[i]] + w[i]，即前i-1件物品给第i件物品腾出v[i]的空间后，可以获得到w[i]的回报。
   代码示例：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 1005;
int v[MAXN];    // 体积
int w[MAXN];    // 价值
int f[MAXN][MAXN];  // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) //此处从1开始，为了方便后续的[i-1]不用判断是否小于0
        cin >> v[i] >> w[i];

    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            if(j < v[i]) //  当前背包容量装不进第i个物品，则价值等于前i-1个物品
                f[i][j] = f[i - 1][j];
            else // 能装，需进行决策是否选择第i个物品
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

空间优化：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int MAXN = 1005;
int v[MAXN];
int w[MAXN];
int dp[MAXN];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = m; j >= v[i]; j--) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout << dp[m];
    return 0;
}

01背包（至少体积最小价值型）

注：请先至少完全理解了至多体积最打价值后，再思考此问题
题目链接：何以包邮

新学期伊始，适逢顿顿书城有购书满 x元包邮的活动，小 P同学欣然前往准备买些参考书。一番浏览后，小P初步筛选出 n本书加入购物车中，其中第 i本（1≤i≤n）的价格为 ai元。
考虑到预算有限，在最终付款前小 P决定再从购物车中删去几本书（也可以不删），使得剩余图书的价格总和 m在满足包邮条件（m≥x）的前提下最小。试帮助小 P计算，最终选购哪些书可以在凑够 x元包邮的前提下花费最小？
输入格式
输入的第一行包含空格分隔的两个正整数 n和 x，分别表示购物车中图书数量和包邮条件。
接下来输入 n行，其中第 i行（1≤i≤n）仅包含一个正整数 ai，表示购物车中第 i本书的价格。
输入数据保证 n本书的价格总和不小于 x。
输出格式
仅输出一个正整数，表示在满足包邮条件下的最小花费。

解答：
此题有2种方式可以作答。
1.反向思维，计算可以删除的书的最大价值。计算出n本书的总价s，然后计算出在体积不超过（s-x)的情况下，可以删除的书的最大价值，最后用s-删除掉的最大价值，就是最小花费。
2.使用至少体积型最小价值模型，下面给出代码模板。
注意：至多体积最大价值型与至少体积最小价值型模板差异

1. 初始化不同: 至多体积最大价值型初始化为0; 至少体积最小价值型初始化为正无穷，f[0]=0
2. 循环中的体积条件不同： 一个是[m,v[i]], 另一个是 [m,0]
3. 循环中的赋值条件不同： 一个是 max， 一个是 min， 这个容易理解， 一个是求最大值，一个是求最小值。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define MAXN 31
int n,m;
int v[MAXN];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> v[i];
    }
    int f[x+10];
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    f[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = m; j >= 0; j--) {
            f[j] = min(f[j], f[max(0, j - v[i])] + v[i]); // j 是可以小于v[i]的，此时可以认为是体积超过了，超过也是符合条件的，因为题目是至少体积。
        }
    }
    cout << f[x];
    return 0;
}

如果想知道是否真正掌握了至少体积最小价值型01背包，可以做以下练习题，这个练习题无法转换成至多体积最大价值型01背包
练习题：给墙壁刷油漆

提示:
根据题意，付费刷墙个数 + 免费刷墙个数 =n。
同时，付费刷墙时间之和必须 ≥ 免费刷墙个数。
结合这两个式子，得到：付费刷墙时间之和 ≥ n − 付费刷墙个数。
移项，得到：「付费刷墙时间+1」之和 ≥n。（把个数拆分成 1+1+1+⋯。）
从此，可以将题目看作是 体积为time[i]+1, 价值为cost[i]的至少体积最小价值型01背包

01背包（恰好型)

完全背包

题目链接：完全背包
题目描述：

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

解答:
代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN= 1005;
int dp[MAXN];
int v[MAXN];
int w[MAXN];
int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    dp[0] = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = v[i]; j <= m; j++) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout << dp[m];
    return 0;
}

多重背包

题目链接：
题目：
解答：
代码：