NAIPC 2019 Heaps of Fun

给出一个 \(n\) 个点的有根树，每个数上有一个值，范围是 \([0,b_i]\) 中的实数。

求这个树是 heap 的概率（父节点值 < 子节点值）。

\(1\leq n\leq 300, 1\leq b_i\leq 10^9\)

非常有意思的题目！

最简单的想法是 \(f(i,j)\) 表示当前节点为 \(i\) ，值为 \(j\) 的概率，但是 \(j\) 的范围在 \(10^9\) 级别，很难的啦。

那考虑如果没有数值限制呢？所有的点范围都是 \([0,x]\) 呢？

这个时候发现只需要关注相互关系就可以了，观察到实数范围内，两个数相同的概率为 \(0\)，所以只要关注这 \(n\) 个点的相互关系有多少种。

什么叫做相互关系？就是从小到大给树里面的点排序，有多少种合法的排列方法。

此时考虑的状态就是 \(f(i)\) 表示当前的节点为 \(i\) ，子树内的点有多少种排列方法。

最后 heap 的概率就是 \(\frac{f(root)}{n!}\).

但是现在发现还有另外一个要求，就是所有点的数值范围可能不一样。

首先考虑一个非常朴实的点，就是子树根节点的 \(b_{root}\) 要小于等于子树内所有的 \(b_{son}\) ，可以预处理干这个。

如果 \(b_{root}=b_{son}\) 一切都好说，就是上述分析的点，但是如果 \(b_{root}<b_{son}\) 呢？

仔细观察发现，子树中的值可以在 \([0,b_{root}]\) 也可以在 \([b_{root}, b_{son}]\) 里面，此时面临两个选择。

有一个 idea 就是可以考虑多加上一维度，\(f(i,j)\) 表示当前节点为 \(i\) ，在 \([0,b_i]\) 中有 \(j\) 个子节点的排列方法。

此时有两种情况,

1. \(b_{root} = b_{son}\)

   \(g(root,i)\) += \(f(son,j)\times f(root, j-i)\times \frac{(b_{son}-b_{root})^{j-i}}{(j-i)!}\)

2. \(b_{root}<b_{son}\)

​ \(g(root,i)+=f(son,j)\times f(root,j-i)\times\binom{i}{j}\)

最后的答案是 \(\frac{\sum_{i=0}^{n} f(root,i)\times\frac{1}{i!}}{\prod b_i}\).

时间复杂度 : \(O(n^3)\)

空间复杂度 : \(O(n^3)\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long 
const int N=305;
const int mod=1e9+7;
int n,m=0,rt;
vector<int>son[N];
map<int,int>Map; 
int p[N],a[N],b[N],val[N],pp[N][N][N],pw[N],ipw[N],invp[N][N],C[N][N];
int Power(int x,int k){
	if(k==0)return 1;
	int val=Power(x,k>>1);
	val=1ll*val*val%mod;
	if(k&1)val=1ll*val*x%mod;
	return val;
}
void get_a(int x){
	for(auto to:son[x]){
		get_a(to);
		a[x]=min(a[x],a[to]);
	}
}
int dp[N][N],f[N],g[N],h[N],sz[N];
void dfs(int x){
	for(auto to:son[x])dfs(to);
	memset(g,0,sizeof(g));
	g[0]=1;sz[x]=0;
//	cerr<<"x="<<x<<endl;
	for(auto to:son[x]){
		memset(h,0,sizeof(h));
		memset(f,0,sizeof(f));
		if(a[to]>a[x]){
			for(int i=0;i<=sz[to];i++)for(int j=i;j<=sz[to];j++){
				h[i]+=1ll*dp[to][j]*pp[a[x]][a[to]][j-i]%mod;
				h[i]%=mod;
			}
//			cerr<<dp[to][1]<<","<<pp[a[x]][a[to]][1]<<","<<invp[a[to]][1]<<endl;
		}else{
			for(int i=0;i<=sz[to];i++){
				h[i]+=dp[to][i];
				h[i]%=mod;
			}
		}
//		cerr<<"h:";
//		for(int i=0;i<=sz[to];i++)cerr<<h[i]<<" ";cerr<<endl;
		for(int i=0;i<=sz[x];i++)for(int j=0;j<=sz[to];j++){
//			if(i+j==1)cerr<<i<<","<<j<<","<<g[i]<<","<<h[j]<<","<<C[i+j][j]<<" "; 
			f[i+j]+=1ll*g[i]*h[j]%mod*C[i+j][i]%mod;
			f[i+j]%=mod;
		}
//		cerr<<endl;
//		cerr<<"f:";
//		for(int i=0;i<=sz[x]+sz[to];i++)cerr<<f[i]<<" ";cerr<<endl;
		sz[x]+=sz[to];
		swap(f,g);
	}
//	cerr<<endl;

//	for(int i=0;i<=sz[x];i++)cerr<<g[i]<<" ";cerr<<endl;
	for(int i=0;i<=sz[x];i++){
		dp[x][i+1]+=g[i];
		dp[x][i+1]%=mod; 
	}
	sz[x]++;
}
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i]>>p[i];
		b[i]=a[i];
		son[p[i]].push_back(i);
		if(!p[i])rt=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)Map[a[i]]=1;
	Map[0]=1;
	for(auto&it:Map){
		val[m]=it.first,it.second=m++;
//		cerr<<it.first<<","<<it.second<<" ";
	}
//	cerr<<endl;
//	for(int i=1;i<=n;i++)cerr<<a[i]<<" ";cerr<<endl;
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=Map[a[i]];
//	for(int i=1;i<=n;i++)cerr<<a[i]<<" ";cerr<<endl;
	pw[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)pw[i]=1ll*pw[i-1]*i%mod;
	for(int i=0;i<=n;i++)ipw[i]=Power(pw[i],mod-2);
	for(int i=0;i<=m;i++)for(int j=i+1;j<=m;j++){
		pp[i][j][0]=1;
		for(int k=1;k<=n;k++)pp[i][j][k]=1ll*pp[i][j][k-1]*(val[j]-val[i])%mod;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		invp[i][0]=1;
		for(int k=1;k<=n;k++){
			invp[i][k]=Power(pp[0][i][k],mod-2);	
		}
	}
	for(int i=0;i<=m;i++)for(int j=i+1;j<=m;j++)for(int k=0;k<=n;k++){
		pp[i][j][k]=1ll*pp[i][j][k]*ipw[k]%mod;
	}
	C[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		C[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++){
			C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
		}
	}
	get_a(rt);
//	for(int i=1;i<=n;i++)cerr<<a[i]<<" ";cerr<<endl;
	dfs(rt);
//	for(int i=1;i<=n;i++)cerr<<sz[i]<<" ";cerr<<endl;
//	for(int i=0;i<=sz[2];i++)cerr<<dp[2][i]<<" ";cerr<<endl;
	int ans=0;
//	for(int i=0;i<=sz[rt];i++)cerr<<dp[rt][i]<<" ";cerr<<endl;
	for(int i=0;i<=sz[rt];i++){
		cerr<<dp[rt][i]<<","<<pp[0][a[rt]][i]<<" ";
		ans+=1ll*dp[rt][i]*pp[0][a[rt]][i]%mod;
		ans%=mod;
	}
	cerr<<endl;
//	cerr<<"ans="<<ans<<endl;
	for(int i=1;i<=n;i++){
//		cerr<<Power(val[a[i]],mod-2)<<" ";
		ans=1ll*ans*Power(b[i],mod-2)%mod;
		ans%=mod;
	}
//	cerr<<endl;
	cout<<ans<<endl;
//	cerr<<1ll*ans*12%mod*Power(7,mod-2)%mod<<endl;
	return 0;
}
/*
3
1 0
1 1
1 1
*/
/*
2 
1 0
2 1
*/
/*
2 
1 0
1 1
*/
/*
3
1 0
2 1
2 1
*/
/*
13
1 0
2 1
2 1
4 2
5 2
10 3
9 3
6 4
10 8
10 1
10000000 8
99999999 7
12 12
*/
/*
2
2 0
1 0
*/