我所理解的微积分 | 第 1 篇

首先要引入的一个概念就是极限。无限接近却到达不了，这就是极限的内涵。

在这里我们讨论函数的极限。对于函数的极限，我们要分两种情况进行讨论，一种是趋于无限值时的极限；另一种则是趋于有限值时的极限。趋于无限值的过程，其实就是趋于 \(\infty\) 的过程。 趋于 \(\infty\) 又分两种情况：趋于 \(+\infty\) 和趋于 \(-\infty\) ，这个过程就是往 x 轴的左右两侧无限探索过去的过程，就似两道光往 x 轴的左右两侧发射出去，一直到无穷远的距离。趋于有限值，则是趋向有限值所代表的 x 轴上的点的过程，假设这个有限值记作 \(x_0\) 的话，那么就是趋向 \(x=x_0\) 的过程。

说回趋于无限值的过程，这里所说的趋于某个值，其实都是在讨论 x 轴上的数值。假设现在有个函数 \(f(x)\) ， x 轴上的数值趋于 \(+\infty\) 或 \(-\infty\) 时，我们将之记作 \(\lim_{x\to +\infty} f(x)\) 或 \(\lim_{x\to -\infty} f(x)\) 。当趋向于 x 轴上的 \(+\infty\) 或 \(-\infty\) 后，总会有一个 y 轴上的值与之对应——当然前提是函数在这些范围内有定义——这个 y 轴上的值可以是某个有限值 \(y_0\) ，也可以是无限值，当为无限值是，我们称这个极限的值不存在（因为没有确定的值与之对应啊）。

下面要引入的概念就是导数。之前提到了极限这个概念，当我们讨论导数时，极限一般都应用在描述一个变化量 \(\Delta x\) 的趋向上，也就是 \(\Delta x\to0\) 。

现在我们有一个二次函数 \(f(x)=x^2\) ，图像在你的脑海中。图像上有 A，B 两点，我们来画一条经过 A，B 两点的直线。设 A 点的坐标为 \(( x_A,f(x_A))\)，B 点的横坐标为 \(( x_B,f(x_B))\)，那么容易得到这条直线的斜率为：\(\frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}\)

现在我们规定 \(\Delta x=x_B-x_A\)。我们将 A 点固定，让 \(\Delta x \to 0\)，于是 B 点会越来越靠近点 A，这时候经过点 A 和点 B 的直线也在变化，这条直线无限地趋向于与在 A 点处的切线重合。 这时候我们有：

\[\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A} \]

又因为 \(x_B=\Delta x+x_A\) ，于是有：

\[\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x+x_A)-f(x_A)}{\Delta x} \]

于是我们就有了导数的定义，也就是上面这个式子。通过上面的式子我们可以知道，导数的本质其实就是函数图像上某一点切线的斜率。