原码反码补码

参考

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https://blog.csdn.net/leonliu06/article/details/78685197

因为做leetcode的一道题整数反转https://leetcode-cn.com/problems/reverse-integer/，中间用到了int的最大值和最小值。很多解题都是直接默认知道int的最大值最小值，或是使用了c++的INT_MAX和INT_MIN宏。如果没有宏，或是题目改成31位数字，30位数字，那岂不是解不了了。本着一切都是通用，都是可以自己计算获得的思想，那怎么求int的最大最小值呢？

(1 << 31) - 1;//最大值2147483647，这里一定要加括号，因为<<的优先级比-低
1 << 31;//最小值-2147483648

另一个问题来了，为什呢？为什么-2147483648 - 1不是-2147483649呢？先看看内存

 

嗯，就是1向左移动了31位，就是到最高的位置，那么，就是负数最小值，减一，变成了正的最大值，并且如果把负的最小值按照无符号正数输出，实际上是2147483648，减一，正好是2147483647？？？带着一系列的疑问，我们开始补码之旅。

为什么直接是补码，我感觉一开始讲解原码，然后是反码，最后补码有点本末倒置。因为计算机中只有补码，补码才是最合理的，最应该被了解的，其次才是原码，最后是反码。只不过求补码的一种方式需要借助到反码，具体解释如下

• 原码-十进制数字的二进制形式，只不过最高位用来表示正负
• 反码-符号位不变，负数的原码各位取反，正数保持不变
• 补码-正数不变，负数的补码是其反码加1

我们以四位数字来举例，原码如下

 

我们看起来很直观，很容易理解，对于计算机可不这么认为。首先，如果保存的是原码，那么就要增加一个寄存器保存这个符号位，增加了开销。其次，加法如果有进位，我们可以一位一位的计算，减法如果有借位呢？有可能会借位好几次，并且是不固定的，那么又需要额外的空间保存。还有就是，出现了两个0，+0和-0，那么在判断0的时候，还需要判断两次。最最重要的是1+(-1)=0001+1001=1010=-2？？？这……已经不是麻烦的问题了。

为了解决这些问题，补码出现了，因为计算机保存数据的空间有限，比如四位空间，按照原码，只能保存-7~7.那么这里就有一个东西可以利用，就是溢出。四位空间的数据是循环的，不可能有超出这个范围的数据，减掉一个数据获得的值，是不是与加上一个数据转一圈获得的值一样呢？查资料中，有作者给了一个恰当的比喻，就是钟表。比如，当前是6点，那么减去3个小时，是3点，如果是加上9个小时呢，还是3点，虽然多转了一圈，但是因为溢出，像钟表一样，没有区别，补码就是这个意思。这个例子中6-3就等于6+9，那么9就是-3的补码。这样就可以把负数换成正数。减少了一个减法运算器，也减少了减法的运算复杂度。

举例3-2，那么相当于3+(-2)，4位空间的数据无符号的话是0-15，也就是以16为进制转一圈，那么回退2个，就相当于加上14个，因为加上16个是正好转了一圈，相当于加了0，那么少加2个呢，就是14个，所以-2的补码就是14，14的二进制是1110（无符号），那么3+14就等于17，17针对于16的模，就是1，正好与3-2一样。这才是补码的真实意义，只不过按位取反再加一，是补码的一种求解方式。中间出现的一个转换过程，把负数的符号位不变，其他位按位取反得到的数据叫做反码。反码的出现也是为了解决这个问题，只不过没有完美的解决，补码弥补上了最后的限制。

反码补码都是为了解决负数提出的，所以呢，正数的反码补码都是原码，没有任何变化。

下面的作者解释了为什么补码的一种求解方法是反码加一

 # 按以上理论，减一个数等于加上它的补数，所以
 5 - 3
 # 等价于 
 5 + (16 - 3)   // 算术运算单元将减法转化为加法
 # 用二进制表示则为：
 0101 + (10000 - 0011)
 # 等价于
 0101 + ((1 + 1111) - 0011)
 # 等价于
 0101 + (1 + (1111 - 0011))
 # 等价于
 0101 + (1 + 1100) // 括号内是3（0011）的反码+1，正是补码的定义
 # 等价于
 0101 + 1101
 # 所以从这里可以得到
 -3 = 1101
 # 即 `-3` 在计算机中的二进制表示为 `1101`，正是“ -3 的正值 3（`0011`）的补码（`1101`）”。
 # 最后一步 0101 + 1101 等于
 10010
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这样的话，没有了负数，也就没有了减法，同样，没有乘法，没有除法。只有加法，或是只有位运算。减法就是加上负数，乘法就是循环多次相加，除法，就是循环多次相减，也就是循环相加多次除数的相反数。简化了设计，优化了效率。

下面介绍为什么1<<31是负的最小值，还是拿4位数字表示，上面列出了原码，下面是反码，正数的不变，负数的除了符号位，其他位按位取反。

 

 那么补码呢，正数不变，负数在上面获得的反码基础上加一

 

我们可以看到反码不仅解决了负号问题，还解决了+0和-0的问题，+0和-0的反码都是0000，那么我们看到，多了一个1000，那么这个数，就用来表示-8。那么上面的问题就可以解释了1<<31是负数最小值，减一呢，按照位运算，计算机内并没有负数，那就是正的最大值。按照这个4位的数字做例子就是1000，也就是1<<3是-8，最小的负数，减一，变成0111，也就是7，最大的正数。