P2962 [USACO09NOV]Lights G

https://www.luogu.com.cn/problem/P2962

题目描述

给出一张 n 个点 m 条边的无向图，每个点的初始状态都为 0。

 

你可以操作任意一个点，操作结束后所有相邻的端点的状态都会改变，由 0 变成 1 或由 1 变成 0。

 

你需要求出最少的操作次数，使得在所有操作完成之后所有 n个点的状态都是 1。

 

输入格式

第一行两个整数 n, m。

 

之后 m行，每行两个整数 a, b，表示在点 a, b 之间有一条边。

 

输出格式

一行一个整数，表示最少需要的操作次数。

 

输入输出样例

输入 #1

5 6 

1 2 

1 3 

4 2 

3 4 

2 5 

5 3 

输出 #1

3 

说明/提示

对于 100\% 的数据，1\le n\le35,1\le m\le595, 1\le a,b\le n1≤n≤35,1≤m≤595,1≤a,b≤n。

解：对每个灯来说，它的状态是由相邻的灯是否按下，和自己是否按下决定的。可以发现灯按两次是相当于没按，所以灯亮灭只于决定它的其他灯按下次数的奇偶决定，所以就可以用异或计算了。每个灯是否按下的状态记为x,xi=1表示第i个灯按下，xi=0表示没按下。

这样就可以对每一个灯列一个方程。比如灯1与灯2，4相邻，则关于灯1状态的方程为1*x1 ^ 1*x2 ^ 0*x3 ^ 1*x4 =1（最终状态要为1）。

列出n个方程后，进行高斯消元，如果方程含有自由元，则枚举每个自由元的状态。计算答案即可。

#include<cstdio>
// #include<iostream>
// #include<deque>
// #include<cstring>
// #include<cmath>
// #include<map>
// #include<vector>
// #include<stack>
// #include<algorithm>
// #include<queue>
// #include<set>
#include<bits/stdc++.h>
#define sd(x) scanf("%d",&x)
#define lsd(x) scanf("%lld",&x)
#define sf(x) scanf("%lf",&x)
#define ms(x,y) memset(x,y,sizeof x)
#define fu(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(register int i=a;i>=b;i--)
#define all(a) a.begin(),a.end()
#define range(a,x,y) a+x,a+y+x
#define dbug printf("bbbk\n")
#define R register
using namespace std;
using namespace __gnu_cxx;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;
typedef pair<ll,ll> P;
const int N=1e3+99;
const int MN=1e7+9;
const ll mod=1e9+7;
const int MAX=1e9;
const ll INF=1e9+7;
int n,m,ans;
int a[N][N],b[N][N];
bitset<N> p[N];
int sta[N];
inline bool guass()
{
    bool frre=0;//是否含自由元
    for(int now=1;now<=n;now++)//当前主元
    {
        int t=now+1;
        while(t<=n&&!p[t][now]) t++;
        if(t>n) {frre=1;continue;};
        swap(p[t],p[now]);
        fu(i,1,n)
        {
            if(i==now) continue;
            if(p[i][now]) p[i]^=p[now];
        }
    }//判断k是不是自由元只要看p[k][k]==1?
    return frre;
}
inline void dfs(int x,int num)
{
    if(num>=ans) return;//剪枝，ans取最小值
    if(x==0) {ans=min(ans,num);return;}
    if(p[x][x])//x不是自由元
    {
        int st=p[x][0];
        //每个非自由元都只受后面的自由元影响
        fu(i,x+1,n) if(p[x][i]) st^=sta[i];
        sta[x]=st; 
        dfs(x-1,num+st);
    }
    else//有自由元,枚举自由元状态
    {
        dfs(x-1,num);
        sta[x]=1;
        dfs(x-1,num+1);
        sta[x]=0;
    }
}
int main()
{
    //freopen("P2962_12.in","r",stdin);
    cin>>n>>m;
    fu(i,1,n) p[i][0]=1,p[i][i]=1;//第0列作为增广列
    fu(i,1,m)
    {
        int u,v;cin>>u>>v;
        p[u][v]=1;p[v][u]=1;
    }
    if(!guass())//有唯一解
    {
        fu(i,1,n) if(p[i][0]) ans++; 
    }
    else//有自由元,枚举自由元状态
    {
        ans=INF;
        dfs(n,0);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

 

题目描述

给出一张 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，每个点的初始状态都为 $0$。

你可以操作任意一个点，操作结束后所有相邻的端点的状态都会改变，由 $0$ 变成 $1$ 或由 $1$ 变成 $0$。

你需要求出最少的操作次数，使得在所有操作完成之后所有 $n$ 个点的状态都是 $1$。

输入格式

第一行两个整数 $n,m$。

之后 $m$ 行，每行两个整数 $a,b$，表示在点 $a,b$ 之间有一条边。

输出格式

一行一个整数，表示最少需要的操作次数。

输入输出样例

输入 #1复制

5 6 
1 2 
1 3 
4 2 
3 4 
2 5 
5 3 

输出 #1复制

3 

说明/提示

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 35,1\le m\le 595,1\le a,b\le n$。