数字电路【原码，补码和反码】

晶体管容易实现加法电路，但实现减法电路很复杂，

二进制码型的乘法由被乘数和0的左移和加法构成，

除法由被除数或余数减去被除数的右移构成，

因此如果可以将减法用加法代替，则所有二进制计算都可以用加法和位移运算代替

首先采用原码

原码是指用二进制数的最高位表示正负，其余位表示数值大小

例如 7 = 0111B -7 = 1111B

但是原码存在的问题是做减法时需要先比较二者的绝对值大小，用绝对值较大的一个的符号位作为差值符号位，然后做绝对值相减

很显然，原码的减法计算实际上没有完成用加法替代减法的功能，并且需要比较电路，实现会很复杂，并且原码存在“负0” 如 1000B是负0，而0000B是正0

为了将加法替换位减法可以使用模运算，

时钟是一个模12的系统，设当前时间为 9:00 如果想要将指针拨到 5:00，有两种方式

第一种是逆时针拨动4个小时，另一种是顺时针拨动8个小时

由此可见在模12的运算中 9 + 8 mod(12) 和 9 - 4 mod(12)同余

因此在时钟系统里减4的运算可以用加8来代替

并且容易发现，在模m的系统里找一个x的补数，可以通过m - x来得到，其中x为小于m的正整数

这同样可以用于二进制的系统

以4bit的二进制为例，很显然一共有16个数，0 ~ 15

9 - 4 mod(16) = 5 9 + 12 mod(16) = 5

1001 - 0100 = 0101 1001 + 1100 = 1 0101

对1 0101取模，即减去16，即可得到0101，

在n bit补数取模的系统中，N > 0时 N补 = N，N < 0时，N补 = 2 ^ n + N，

这样在计算4 bit 9 - 4时只需要替换成9 + 12 即可，但是问题在于求-4的补码使用公式2 ^ 4 + (-4) = 16 - 4，这一步仍然需要计算减法，

于是引入反码，观察2^n - 1可以发现这是一个n bit全1的数并且它和任意一个n bit数x做差得到的结果都是对x按位取反得到的而取反是很容易实现的，

对于反码 N > 0时 N反 = N，N < 0 时，N反 = 2 ^ n - 1 + N，或者对N按位取反，

但是由于反码的模是2 ^ n - 1，就导致存在两个问题：

第一是存在负0，以4 bit为例1111就是负0，同时1111 也是 2 ^ 4 - 1 = 15，

第二个问题是反码运算需要将溢出数回加到结果，

以十进制计算3 - 1 = 2为例，在4 bit二进制数中，3（D） = 0011（B），-1（D） = 1110（B）

于是上述减法可以转换为加法，0011 + 1110 = 1 0001，如果我们舍去溢出的1则结果为 0001（B）= 1（D），很显然不正确，这就需要将最高符号位回加得到0010（B） = 2 （D），

可以假设n bit数A和B相加有A + B = S，并且假设S出现第n + 1位的进位，那么S = R + C * 2 ^ n，其中R是低n bit的结果，C是第n + 1位的二进制数，这里只考虑C = 1，

由于反码相当于在模2 ^ n - 1中计算，那么R + C * 2 ^ n mod(2 ^ n - 1) ≡ R + C * 1，由于C = 1，所以真正的结果S实际上应该要在低位R的结果上加1才能得到。

尽管反码存在这些问题，但结合反码和补码的公式可以发现，当N < 0时，N反 = 2 ^ n - 1 + N，而N补 = 2 ^ n + N，于是可以得到N补 = N反 + 1，

这样我们就可以绕回到补码上，当要计算减法 X - N 时只需要先对N按位取反（等价于 2 ^ n - 1 + (-N)）得到N反，然后加1即可得到N补，这样X - N就转为了X + N补，

并且整个过程都绕开了减法。

接着考虑补码的码型，我们规定用最高bit是否为1来代表数字是负数或正数，在一个n bit的二进制数中，第n位为1的数1000···000的值必然等于2 ^ (n-1)，

结合补码公式，N < 0时，2 ^ n + N的二进制数就必须大于等于2 ^ (n-1)，

有 2 ^ n + N >= 2 ^ (n-1)，那么 N >= 2 ^ (n-1) - 2 * 2 ^ (n-1)，于是 N >= - 2 ^ (n-1)我们得到了n bit补码的下界，

接着就容易得到当N > 0时，N的最高bit不能为1，那么N < 2 ^ (n-1)，

可见正数部分从1到2 ^ (n-1) - 1一共有2 ^ (n-1) - 1个元素，负数部分从-1到-2 ^ (n-1)，一共有2 ^ (n-1)个元素，两者相加刚好差一个0，这样就不存在负0，

并且由于模是 2 ^ n，当出现n + 1进位时R + C * 2 ^ n mod(2 ^ n) ≡ R + C * 0，这说明n + 1的溢出直接丢弃就好。

另外在补码中有一个特殊的成员，就是2 ^ (n - 1)，这个数的补码就是自身并且只在负数中存在。

我们已经知道，在一个n bit的系统中，A和B如果互为补数，那么必然有A + B = 2 ^ n，

调换一下位置可以得到-B = A - 2 ^ n，由于A，B都是正数，A可以用 bn-1 * 2 ^ (n-1) + ∑bi * 2 ^ i来表示，

于是，A - 2 ^ n = -bn-1 * 2 ^ (n-1) + ∑bi * 2 ^ i(0<=i<=n-2)，如果A的第n-1位为1，那么它对应的实际十进制数的负数就等于-bn-1 * 2 ^ (n-1) + ∑bi * 2 ^ i，其中bn-1 = 1，

如果A的第n - 1位为0，则A可以表示为 A = bn-1 * 2^(n-1) ∑bi * 2 ^ i(0<=i<=n-2)，

所以可以总结出补码的计算公式 N = -bn-1 * 2 ^ (n-1) + ∑bi * 2 ^ i(0<=i<=n-2)，这样就把正数和负数的补码与十进制数进行了统一。

思考：为什么两个二进制数补码相加时，和的符号位等于两数的符号位和最高有效数位进位的相加结果？（舍弃符号位的进位）。