长链剖分

我们现在有一棵有根树（节点的深度定义为根到它的距离）。
设节点 \(u\) 的所有儿子中，深度最大的点为它的长儿子，记作 \(son_u\)。（存在多个则任取一个，没有儿子则为空）
记每个节点到它的长儿子的变为长边，其余边为短边。
一段极长的全部由长边组成的链称为长链。特别的，按此过程划分后，不在长链上的点（都是叶子节点）也各算作一条长链。
显然，每个点在且仅在一条长链上。

长链剖分有两个经典应用，分别为 \(O(nlogn)\sim O(1)\) 求树上 \(k\) 级祖先和优化某维度与深度相关的 dp。（目前于我而言，此处深度特指向叶向走的距离）
第一个应用因为一般效率不如 \(O(n)\sim O(logn)\) 的轻重链剖分，并没有什么用，略去。
下面是优化 dp 的过程。
例：P5904
由原题题解所述状态，发现第二维与深度相关，可以考虑长链剖分优化。
优化后的过程为：先对 \(son_u\) 进行 dp，并由 \(u\) 直接继承。然后再照常合并别的儿子。（要注意循环范围，以及继承以后先算上 \(g_{u,0}\)）
示例（先给 \(u\) 分配了空间，所以这么写）:

 int *f[M],*g[M];
 f[son[u]]=f[u]+1,g[son[u]]=g[u]-1;

能否优化的关键在于当前点能否做到 \(O(1)\) 继承长儿子的结果。
观察转移方程：

\[g_{u,j+1}\leftarrow g_{u,j+1}+f_{v,j}*f_{u,j+1} \]

\[g_{u,j-1}\leftarrow g_{u,j-1}+g_{v,j} \]

\[f_{u,j+1}\leftarrow f_{u,j+1}+f_{v,j} \]

发现对于我们计算的第一个儿子（ \(son_u\) )，\(f\) 和 \(g\) 的计算都只是将儿子的数组进行了平移。因此能够 \(O(1)\) 继承。
注意到一个关键的细节。
\(f_{son_u}\) 是将 \(f_u\) 的数组向右平移一位，并扔掉最后一位。（即 \(f_{u,1}\) 对应 \(f_{son_u,0}\)）
而 \(g_{son_u}\) 是将 \(g_u\) 的数组向左平移一位，并扔掉最后一位。（即 \(g_{u,-1}\) 对应 \(f_{son_u,0}\)）
所以若将 \(f_u\) 和 \(g_u\) 连续分配的话，\(f\) 和 \(g\) 之间要额外留一倍空间。
综上，通过长链剖分解决本题。

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显然，\(O(\sum{链长})=O(n)\)，因为每条边至多属于一条长链。
上述算法的空间复杂度为 \(O(n)\)，因为我们只在链顶分配这条长链的空间，分配的总空间为 \(3*\sum{链长}\)。
上述算法的时间复杂度也是 \(O(n)\)，因为只在链顶处暴力继承一条链的信息，复杂度为 \(O(n)\) 次 \(O(1)\) 继承长儿子和 \(O(\sum{链长})\) 的和。
代码可以参考 @xht 的题解。