关于数论的小trick

1.当\(f(x)=a\times f(x-1)+b\times f(x-2)\)(\(a\),\(b\)互质)时，$gcd(f(x),f(y))=f(gcd(x,y)) $

证明：

\[f(0)=0,f(1)=1,f(2)=a\\ \begin{bmatrix} f(n)&f(n-1) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} f(1)&f(0) \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} a&1\\ b&0 \end{bmatrix}^{n-1}\\ \begin{bmatrix} a&1\\ b&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} f(2)&f(1)\\ b\cdot f(1)&b\cdot f(0) \end{bmatrix}\\ \]

则有\(\begin{bmatrix} a&1\\ b&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} f(n+1)&f(n)\\ b\cdot f(n)&b\cdot f(n-1) \end{bmatrix}\).
考虑使用数学归纳法证明

对\(n=1\)时显然成立

对\(n>1\)时，有

\[\begin{align*} \begin{bmatrix} a&1\\ b&0 \end{bmatrix}^{n}&=\begin{bmatrix} a&1\\ b&0 \end{bmatrix}^{n-1}\times \begin{bmatrix} a&1\\ b&0 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} f(n)&f(n-1)\\ b\cdot f(n-1)&b\cdot f(n-2) \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} a&1\\ b&0 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} a\cdot f(n)+b\cdot f(n-1)&f(n)\\ b(a\cdot f(n-1)+b\cdot f(n-2))&b\cdot f(n-1)\\ \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} f(n+1)&f(n)\\ b\cdot f(n)&b\cdot f(n-1) \end{bmatrix} \end{align*} \]

得证
则有:

\[\begin{align*} \begin{bmatrix} f(n+m)&f(n+m-1) \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} f(n)&f(n-1) \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} a & 1\\ b & 0 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} f(n)&f(n-1) \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} f(m+1) & f(m)\\ b\cdot f(m) & b\cdot f(m-1) \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} f(n)f(m+1)+b\cdot f(n-1)f(m) & f(n)f(m)+b\cdot f(n-1) f(m-1) \end{bmatrix} \end{align*} \]

所以有\(f(n+m)=f(n)f(m+1)+b\cdot f(n-1)f(m)\)。

所以有：

\[\begin{align*} gcd(f(n+m),f(m))&=gcd(f(n)f(m+1)+b\cdot f(n-1)f(m),f(m))\\ &=gcd(f(n)f(m+1),f(m))\\ \end{align*} \]

先考虑证明对于\(n\ge 1\)时，\(gcd(f(n),b)=1\).

考虑使用数学归纳法，当\(n=1\)时，\(gcd(f(1),b)=gcd(1,b)=1\)成立

当\(n>1\)时，

\[\begin{align*} gcd(f(n),b)&=gcd(a\cdot f(n-1)+b\cdot f(n-2),b)\\ &=gcd(a\cdot f(n-1),b)\\ \end{align*} \]

因为\(a\)与\(b\)互质，\(a\)与\(f(n-1)\)互质。

所以\(gcd(f(n),b)=1\)。

再考虑证明\(gcd(f(n),f(n+1))=1\).

考虑使用数学归纳法，当\(n=1\)时，\(gcd(f(1),f(2))=gcd(1,a)=1\)成立.

当\(n>1\)时，有

\[\begin{align*} gcd(f(n),f(n+1))&=gcd(f(n),a\cdot f(n)+b\cdot f(n-1))\\ &=gcd(f(n),b\cdot f(n-1))\\ \end{align*} \]

因为\(f(n)\)与\(f(n-1)\)互质，\(b\)与\(f(n)\)互质。

所以\(gcd(f(n),f(n+1))=1\)。

所以\(gcd(f(n+m),f(m))=gcd(f(n)f(m+1),f(m))=gcd(f(n),f(m))\)

由辗转相除法有：\(gcd(f(n),f(m))=gcd(f(gcd(n,m)),f(0))=f(gcd(n,m))\)

得证