20201017

控制人偶

【题目描述】

$1s,256MB$

在一个平面直角坐标系中，有一个人偶，你可以控制它前进。有四种命令可以控制。设当前人偶所在的位置为 $(x,y)$ ：

$N$ ：向北移动一个单位，$(x,y)->(x,y+1)$

$S$ ：向南移动一个单位，$(x,y)->(x,y-1)$

$W$ ：向西移动一个单位，$(x,y)->(x-1,y)$

$E$ ：向东移动一个单位，$(x,y)->(x+1,y)$

现在，给定一个四种命令组成的字符串，人偶会自动按顺序执行字符串的每一个命令。若执行完毕，它又会从头开始执行命令，如此重复。

每一秒执行一个命令。若初始时人偶在 $(0,0)$ ，问 $T$ 秒后人偶的位置。

【输入格式】

第一个行一个字符串 $S$ ，表示给定的命令。

第二行一个整数 $T$ ，表示时间。

【输出格式】

两个数 $x,y$ ，表示最终的位置。

【样例输入】

NSWENSNEN
13

【样例输出】

1 2

【数据范围】

对于 $60\%$ 的数据， $T\le 5\times 10^5$ 。

对于 $100\%$ 的数据，$T\le 2\times 10^9，|S|\le 5000$ ，$|S|$ 表示字符串长度。

【问题分析】

$60$ 分：

按照每一秒的命令，模拟整个过程。时间复杂度为 $O(T)$ 。

$100$ 分：

每执行完一次字符串命令，人偶的横纵坐标的增加是固定的，若执行完一次字符串命令，从 $(0,0)—>(x,y)$ 。若再执行一次，位置变为 $(2x,2y)$ 。因此计算出执行完一次字符串命令横纵坐标的编号量，最多执行 $\frac T {|S|}$ 次，剩下不足一次的就单独模拟。时间复杂度为 $O(|S|)$ 。

复杂度计算

【题目描述】

$1s,256MB$

给定一个 $n\times m$ 的矩阵。计算子矩阵内的最大值并求和。小 $F$ 完成的程序，准备提交了，但是他不会算时间复杂度，于是他写了一个这样的代码来计算：
#include<cstdio>
using namespace std;
int main(){
int n,m,i,j,k,l,x,y,tmp=0;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=1;i<=n;i++)
  for(j=1;j<=m;j++)
      for(k=i;k<=n;k++)
          for(l=j;l<=m;l++)
              for(x=i;x<=k;x++)
                  for(y=j;y<=l;y++)
                      ++tmp;
printf("%d\n",tmp);
}
这个程序所输出的 tmp 就是他最初的程序的时间复杂度。现在，给定 $n,m$，计算出 tmp。

【输入格式】

一行两个整数 $n,m$ 。

【输出格式】

一个正整数 $tmp$ ，数值可能会很大，将其模 $10^9+7$ 后输出。

【样例输入】

5 5

【样例输出】

【数据范围】

对于 $20\%$ 的数据，满足 $n,m\le 40$ 。

对于 $40\%$ 的数据，满足 $n,m\le 150$ 。

对于 $60\%$ 的数据，满足 $n,m\le 3000$ 。

对于 $80\%$ 的数据，满足 $n,m\le 10^7$ 。

对于 $100\%$ 的数据，满足 $1\le n,m\le 10^{18}$ 。

【问题分析】

$60$ 分：

若固定了矩阵的左上角 $(i,j)$ ，就可以统计出计算次数。

对于 $N\times M$ 的矩形，左上角固定为 $(1,1)$，计算的次数为 $S(N,M)=\sum_{x=1}^N\sum_{y=1}^Mxy=\sum_{x=1}^Nx\sum_{y=1}^My=\frac {N(N+1)} 2\times \frac {M(M+1)} 2$ 。

因此，枚举左上角，在 $O(1)$ 的时间统计左上角固定的矩阵需要计算的次数，最后的答案 $ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mS(n-i+1,m-j+1)$ 。

时间复杂度为 $O(n^2)$。

$80$ 分：

$ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mS(n-i+1,m-i+1)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mS(i,j)$

展开后有 $ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \frac 1 4i(i+1)\times j(j+1)=\frac 1 4 \sum_{i=1}^ni(i+1) \sum_{j=1}^m j(j+1)$

设 $f(i)=\sum_{i=1}^ni(i+1)$ ，最后的答案 $ans=\frac 1 4f(n)f(m)$ 。时间复杂度为 $o(n)$ 。

$100$ 分：

$f(i)=\sum_{i=1}^ni(i+1)=\sum_{i=1}^ni^2+\sum_{i=1}^ni$

$\sum_{i=1}^ni^2=\frac 1 6n(n+1)(2n+1)$ (可用数学归纳法证明)

$\sum_{i=1}^ni=\frac 1 2 n(n+1)$ 。

可以在 $O(1)$ 的时间求解出答案。

欢乐ABC

时间限制：$1s$

空间限制：$256MB$

【题目描述】

$AK$ 完了的小强又闲得无聊，于是开始随手在纸上用大写字母 $A-Z$ 写下了一个字符串，然后他突然想到了一个问题，在这个字符串中，有多少个非空连续子串，其中 $A$ 字符的数量， $B$ 字符的数量和 $C$ 字符的数量三个量相等。

【输入格式】

输入文件共一行，包含一个由大写字母 $A-Z$ 构成的字符串。

【输出格式】

输出文件共一行一个数字，代表有多少个符合条件的非空连续子串。

【样例输入】

ABACABA

【样例输出】

【样例解释】

$S[2 − 4]，S[4 − 6]$ 。

【数据范围】

$30\%$ 的数据 $|S| ≤ 100 $ 。

$70\%$ 的数据 $|S| ≤ 1000 $ 。

$100\%$ 的数据 $|S| ≤ 10^6$。

【算法分析】

$30$ 分：

枚举非空连续子串两个端点，统计三种字符的个数。时间复杂度 $O(N^3)$ 。

$70$ 分：

使用前缀和 $suma[i],sumb[i],sumc[i]$，分别表示前 $i$ 个字符，字符 $A,B,C$ 的数量。可以在 $O(1)$ 的时间统计两个端点之间三种字符的个数。时间复杂度为 $O(N^2)$ 。

$100$ 分：

设符合条件的非空连续子串区间为 $[l,r]$ 。则满足 suma[r]-suma[l-1]=sumb[r]-sumb[l-1]， sumb[r]-sumb[l-1]=sumc[r]-sumc[l-1]。

移项有 suma[r]-sumb[r]=suma[l-1]-sumb[l-1]， sumb[r]-sumc[r]=sumb[l-1]-sumc[l-1] 。

将 $\{suma[i]-sumb[i],sumb[i]-sumc[i]\}$ 看作一个二元组，如果能找到一个相同的二元组$\{suma[j]-sumb[j],sumb[j]-sumc[j]\}$ ，那么符号条件的非空连续子串的区间就是 $[i+1,j]（i<j）$ 。

从左到有遍历一遍，求出所有的二元组。再对二元组进行排序，二元组相同的排在相邻的位置，统计符合条件的个数。也可以一遍遍历一遍使用 $map$ 存储。时间复杂度为 $O(n\log n)$ 。

A+B problem

【题目描述】

$2s,512MB$

给定一个 $n\times n$ 的矩形方格（横纵坐标都是 $0\sim (n-1)$）。一开始方格中的数均为 $0$ ，你需要支持以下两种操作：

将给定的一个矩形中所有数 $+1$ 。

询问给定一个矩形内所有数之和对 $p$ 取模。

要求强制在线。

【输入格式】

第一行三个正整数 $n,q,p$ 。

接下来 $q$ 行，每行包含 $5$ 个整数 $type,w,x,y,z(1\le type\le 2,0\le w,x,y,z<n)$ 。

设 $r$ 为到现在为止所有询问的答案和（**每个答案都是对 $p$ 取模过的，最终把这些答案都求和，最终的 $r$ 不模 $p$ **）。

然后可以得到：
a=(w+r)%n;
b=(x+r)%n;
c=(y+r)%n;
d=(z+r)%n;
if(b<a)swap(a,b);
if(d<c)swap(c,d);
最终操作和询问的矩形为 $\{(x,y)(a\le x, \le b,c\le y \le d\}$ 。

【输出格式】

对于每一个询问输出答案。

【样例输入】

【样例输出】

3
4
0

【样例解释】

解密以后的输入为：

【数据范围】

任务一：$20$ 分，满足 $n\le 10$ 。

任务二：$40$ 分，满足 $n\le 1000$ 。

任务三：$40$ 分，无特殊限制。

对于所有数据有：$2\le n \le 8000,1\le q\le 100000,1\le p\le 256$ 。

【问题分析】

二维树状数组

设原矩阵为 $a_{i,j}$ ，对于子矩阵修改，使用二维差分，$b_{i,j}=a_{i,j}-a_{i-1,j}-a_{i,j-1}+a_{i-1,j-1}$ 。对矩阵 $(i,j)-(k,l)$ 增加 $x$ ，只需要对二维差分数组修改四个点：$b_{i,j}+=x,b_{k+1,j}-=x,b_{i,l+1}-=x,b_{k+1,l+1}+=x$ 。

二维差分数组的二维前缀和就是修改后的矩阵 $a_{i,j}$ ，$a_{i,j}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mb_{i,j}$ 。

设 $s_{i,j}$ 为矩阵 $a_i,j$ 的二维前缀和，则矩阵 $(i,j)-(k,l)$ 中所有数的和为 $s_{k,l}-s_{k,j-1}-s_{i-1,l}+s_{i-1,j-1}$ ，$s_{i,j}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ma_{i,j}$ 。

$s_{n,m}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ma_{i,j}$

$=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^i\sum_{l=1}^jb_{k,l}$

$=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^m\sum_{i=k}^n\sum_{j=l}^mb_{k,l}$

$=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^mb_{k,l}\times (n-k+1)(m-l+1)$

$=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mb_{i,j}\times (n-i+1)(m-i+1)$

$=(\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^mb_{i,j})\times (n+1)(m+1)-(\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^mib_{i,j})\times (m+1)-(\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^mjb_{i,j})\times (n+1)+(\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^mijb_{i,j})$

因此，使用四个二维树状数组维护二维前缀和 $b_{i,j},ib_{i,j},jb_{i,j},ijb_{i,j}$ 。

时间复杂度为 $O(q\log n)$ 。

posted @ 2020-10-17 00:41 _BOSS 阅读(187) 评论(0) 收藏举报

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