线性求逆元

【例】求 \(1\sim N\) 模 \(P\) 的逆元，\(1\le N\le 10^7，P=10^9+7\) 。

如果逐个求解，时间复杂度为 \(O(N\log P)\) 。

逆元实际上可以线性求解。

已知 \(1^{-1}≡1(mod\ P)\)，\(1^{-1}\) 为 \(1\) 的逆元。

设 \(P=k⋅i+r, r<i, 1<i<P\)，则有：

\(k⋅i+r≡0(mod\ P)\)

两边同时乘以 \(i^{-1},r^{-1}\)，得：

\(k⋅r^{-1}+i^{-1}≡0(mod\ P)\)

\(i^{-1}≡-k⋅r^{-1}(mod\ P)\)

\(i^{-1}≡-\left \lfloor \frac P i \right \rfloor⋅(P\%i)^{-1} (mod\ P)\)

可以得到一个递推式子：

inv[i]=-(P/i)*inv[P%i];	//inv[i]表示i的逆元
inv[i]=(P-P/i)*inv[P%i];	//为了避免出现负数，加上一个P，答案不变

这样可以使用递推在 \(O(n)\) 的时间求得。