Verlet integration公式推导

Verlet integration 是一种用于数值积分牛顿运动方程的方法，以下是其推导过程：

基于泰勒展开的推导

• 设粒子的位置矢量为 \(x(t)\)，速度为 \(v(t)\)，加速度为 \(a(t)\)，根据泰勒公式，有：

\[\begin{align*} x(t+\Delta t) &=x(t)+v(t)\Delta t+\frac{1}{2}a(t)\Delta t^2+\frac{1}{6}c(t)\Delta t^3+O\left(\Delta t^4\right) \\ x(t-\Delta t) &=x(t)-v(t)\Delta t+\frac{1}{2}a(t)\Delta t^2-\frac{1}{6}c(t)\Delta t^3+O\left(\Delta t^4\right) \end{align*} \]

• 将上述两式相加，得到：

\[x(t+\Delta t)=2 x(t)-x(t-\Delta t)+a(t)\Delta t^2+O\left(\Delta t^4\right) \]

• 这样，就可以根据当前时刻 \(\Delta t\) 和前一时刻 \(t-\Delta t\) 的位置以及当前时刻的加速度来计算下一时刻 \(t+\Delta t\) 的位置，忽略高阶无穷小项 \(O\left(\Delta t^4\right)\)，得到 Verlet integration 的基本公式：

\[x(t+\Delta t)=2 x(t)-x(t-\Delta t)+a(t)\Delta t^2 \]

从二阶导数的中心差分近似推导

• 二阶导数的中心差分近似公式为：

\[\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{x(t+\Delta t)-2 x(t)+x(t-\Delta t)}{\Delta t^2}+O\left(\Delta t^2\right) \]

• 根据牛顿运动定律 \(a(t)=\frac{d^2x}{dt^2}\)，将其代入上式，得到：

\[a(t)=\frac{x(t+\Delta t)-2 x(t)+x(t-\Delta t)}{\Delta t^2}+O\left(\Delta t^2\right) \]

• 整理可得：

\[x(t+\Delta t)=2 x(t)-x(t-\Delta t)+a(t)\Delta t^2+O\left(\Delta t^4\right) \]

• 同样忽略高阶无穷小项 \(O\left(\Delta t^4\right)\)，得到 Verlet integration 的基本公式。

Velocity Verlet 算法的推导

• Velocity Verlet 算法在基本 Verlet integration 的基础上，引入了速度的计算。其推导过程如下：
• 首先，根据泰勒展开，位置和速度的更新公式分别为：

\[\begin{align*} x(t+\Delta t) &=x(t)+v(t)\Delta t+\frac{1}{2} a(t)\Delta t^2 \\ v(t+\Delta t) &=v(t)+\frac{1}{2}\left[a(t)+a(t+\Delta t)\right]\Delta t \end{align*} \]

• 在实际计算中，先计算位置更新：

\[x(t+\Delta t)=x(t)+v(t)\Delta t+\frac{1}{2} a(t)\Delta t^2 \]

• 然后计算新的加速度 $a(t+\Delta t)$，再根据新的加速度计算速度更新：

\[v(t+\Delta t)=v(t)+\frac{1}{2}\left[a(t)+a(t+\Delta t)\right]\Delta t \]

• 这样，Velocity Verlet 算法在计算位置和速度时，使用了当前和新的加速度信息，提高了计算精度。