裂项：2005年初中数学竞赛题p32,4

下面的题有两个要点：
1.裂项；
2.裂项之后，并非相临项错位相减，而是分别奇数项和偶数项各自求和
3.逻辑分析，必须利用数轴做分析；
\(A=48*（\frac{1}{3^2-4}+\frac{1}{4^2-4}+...+\frac{1}{100^2-4},则与A最接近的正整数是（）\)
\((A)18\quad(B)20\quad (C)24\quad(D)25\)
\(解：写出通项,a_{n}=\frac{1}{n^2-4},3≤n≤100\)
\(即：\frac{1}{(n-2)(n+2)}\)
\(\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n+2}=\frac{4}{(n-2)(n+2)}\)
\(原式=48*\frac{1}{4}(\frac{1}{1}-\frac{1}{5}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}...+\frac{1}{98}-\frac{1}{102})\)
\(\quad=12(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...\frac{1}{98}-(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+...\frac{1}{102}))\)
\(\quad=12(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{99}-\frac{1}{100}-\frac{1}{101}-\frac{1}{102})\)
\(\quad=12(\frac{25}{12}-(\frac{1}{99}+\frac{1}{100}+\frac{1}{101}+\frac{1}{102}))\)
\(\frac{1}{99}+\frac{1}{100}+\frac{1}{101}+\frac{1}{102}≤\frac{4}{99}\)
\(原式=25-12*(\frac{1}{99}+\frac{1}{100}+\frac{1}{101}+\frac{1}{102}))\)
\(12*(\frac{1}{99}+\frac{1}{100}+\frac{1}{101}+\frac{1}{102})≤12*\frac{4}{99}=\frac{48}{99}≤\frac{49.5}{99}=\frac{1}{2}\)

\(24.5≤原式≤25\)
故，最接近该数的正数是25
总结：发现没法使用错位相减，就会怀疑这个方法不行，可以多写出几项，发现规律
\(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{1}....没有求和公式，所以不可能靠求和来做题。只能是靠抵销的方法\)