二次函数错题本：y=ax^2+4ax+3

这道题有两种解法，第一种是利用求根公式，第二种是利用数形结合

第1问：对称轴是x=-2
\(把表达式改写为y=a(x+2)^2-4a+3,可得x=-2是抛物线的极值点，极值点的x坐标就是对称轴的x坐标\)
\(第2问：由题设，可得\)
\(y_{1}=a(-4)^2+4a(-4)+3\)
\(即：y_{1}=3\qquad\qquad①\)
\(y_{2}=am^2+4am+3\qquad\qquad②\)
\(y_{2}>y_{1},即:y_{2}-y_{1}>0\qquad③\)
\(把①式，②式带入③式，可得\)
\(am^2+4am+3>3\)
\(->am^2+4am>0\)
\(->m(am+4a)>0\)
\(因为a\neq 故两侧可同除a，可得，m(m+4)>0\)
\(可得m与m+4同号\)
\(可得：m>0且m>-4，即：m>0\)
\(或，m<0且m+4<0,即m<-4\)
最终结果，m>0或m<-4
第三问
\(解：既然有一个公共点，说明y与x轴有交点，即需要\delta\geq 0\)
\(即\delta=16a^2-12a\geq 0\)
\(当\delta=0时，有一个交点，即顶点在x轴，即x=-2时，y=0\)
\(即，4a-8a+3=0,可得a=\frac{3}{4}\)
\(或由\delta=0，即=16a^2-12a=0，同样可得a=\frac{3}{4}\)
\(故：a=\frac{3}{4}是一个答案\)
\(当\delta>0时，y与x轴有两个交点，要确保右侧的交点位于下图的蓝色线段之内，且需要去掉蓝色线段的左侧端点\)

\(即，假设两个根为x_{1},x_{2},且x_{1}<x_{2},则显然需要\)
\(0<x_{2}\leq 2\quad④\)
若a>0,图形开口向上 ⑥，
\(最大实根x_{2}=\frac{-4a+\sqrt{16a^2-12a}}{2a}\)
\(代入④式，可得:2a<\sqrt{4a^2-3a}且:\sqrt{4a^2-3a}\leq 0\)
\(最终可得 a<0，与⑥式假设矛盾，故\)
\(应有：a<0\)
\(设两个根:x_{1}=\frac{-4a+\sqrt{16a^2-12a}}{2a}\)
\(\quad x_{2}=\frac{-4a-\sqrt{16a^2-12a}}{2a}\)
\(化简为：x_{1}=-2+\frac{\sqrt{4a^2-3a}}{a}\)
\(化简为：x_{2}=-2-\frac{\sqrt{4a^2-3a}}{a}\)

\(所以x_{2}为大根，该根需满足\)
\(0<-2-\frac{\sqrt{4a^2-3a}}{a}\leq 2\)
\(即：2<-\frac{4a^2-3a}{a},且-\frac{4a^2-3a}{a} \leq 2\)
\(最终可得：a\leq -\frac{1}{4}\)
\(故，答案是a=\frac{3}{4}，或a\leq -\frac{1}{4}\)

解法2
\(若a>0，则图形开口向上，当x=0时，y=3，显然没有交点，故，a<0，即开口向下\)
\(当x=0时，y=3，说明该抛物线过点(0,3),当x=2时，若有y\leq0,即可确保抛物线与x轴有且只有一个交点\)
\(即:y=4a+8a+3\leq 0\)
\(即：12a+3\leq 0\)
\(即：a\leq -\frac{1}{4}\)
\(再加上判别式=0的情况\)