欧拉函数的性质

# 欧拉函数

 

定义：对于正整数 $n$ ，**小于等于**$n$, 且与 $n$互质的正整数（包括1）的个数， 记作
$
φ(n) , φ(1) = 1.
$

用数学公式表达就是

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φ(n)=\displaystyle\sum_{i=1}^n1(gcd(i,n)=1)
$

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性质： $
φ(n)
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是一个积性函数， 积性函数的性质：
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gcd (a, b) == 1
$
则
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f(a * b) = f(a) * f (b)
$

$
φ(n)
$
的其他性质

* 若p为质数 $φ(n) = p - 1 $
* 若 $p|n$ 且$ p^2|n$，则$φ(n) = φ(n/p) * p $
* 若$p|n$ 但是不满足 $ p^2|n$， 则$φ(n) = φ(n/p) * (p - 1) $
* $\sum_{d|n} φ(d) = n $
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