【CF671D】Roads in Yusland

题目

题目链接:https://codeforces.com/problemset/problem/671/D

• 给定一棵 \(n\) 个点的以 \(1\) 为根的树。
• 有 \(m\) 条路径 \((x,y)\)，保证 \(y\) 是 \(x\) 或 \(x\) 的祖先，每条路径有一个权值。
• 你要在这些路径中选择若干条路径，使它们能覆盖每条边，同时权值和最小。
• \(n,m \le 3 \times 10^5\)。

思路

设 \(f[x]\) 表示覆盖点 \(x\) 子树内所有边以及 \(x\) 与其父亲的边的最小代价。
但是很明显 \(f[x]\) 不能简单转移。因为有可能花更多代价，覆盖 \(x\) 的祖先更多，这种情况是可能最优的。
所以可以对每一个点维护一个堆，存可能的最优解。
考虑点 \(y\) 怎么转移到其父亲 \(x\)。对于 \(y\) 的堆中一个代价为 \(k\) 的方案，合并到 \(x\) 后，其代价应该是 \(k+\sum_{z\in \text{son}(x),z\neq y} f[z]\)。
也就是说，\(y\) 的所有方案只需要同时加上一个常数，然后扔到 \(x\) 的堆里就好了。直接上左偏树，然后需要搞一个子树加的标记。
但是当某一个方案覆盖不到 \(x\) 与其父亲的边的时候，这个方案就需要删掉了。在每次合并完后不断判断堆顶是否需要删掉即可。
新建一个虚根连向 \(1\)，再加一条代价为 \(0\) 的路径，最后输出虚根的 \(f\) 即可。
时间复杂度 \(O(n\log m)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=300010;
int n,m,tot,head[N],rt[N],dep[N];
ll f[N];
bool flag;
vector<pair<int,int> > a[N];

struct edge
{
	int next,to;
}e[N*2];

void add(int from,int to)
{
	e[++tot]=(edge){head[from],to};
	head[from]=tot;
}

struct LeftistTree
{
	int tot,dis[N],pos[N],lc[N],rc[N];
	ll val[N],lazy[N];
	
	int insert(pair<int,int> b)
	{
		tot++; val[tot]=b.se; pos[tot]=b.fi;
		return tot;
	}
	
	void pushdown(int x)
	{
		if (lazy[x])
		{
			if (lc[x]) val[lc[x]]+=lazy[x],lazy[lc[x]]+=lazy[x];
			if (rc[x]) val[rc[x]]+=lazy[x],lazy[rc[x]]+=lazy[x];
			lazy[x]=0;
		}
	}
	
	int merge(int x,int y)
	{
		if (!x || !y) return x|y;
		pushdown(x); pushdown(y);
		if (val[x]>val[y] || (val[x]==val[y] && x>y)) swap(x,y);
		rc[x]=merge(rc[x],y);
		if (dis[rc[x]]>dis[lc[x]]) swap(lc[x],rc[x]);
		dis[x]=dis[rc[x]]+1;
		return x;
	}
	
	int pop(int x)
	{
		pushdown(x);
		return merge(lc[x],rc[x]);
	} 
}lit;

void dfs(int x,int fa)
{
	dep[x]=dep[fa]+1;
	for (int i=0;i<(int)a[x].size();i++)
		rt[x]=lit.merge(rt[x],lit.insert(a[x][i]));
	for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].to;
		if (v!=fa)
		{
			dfs(v,x); f[x]+=f[v];
			if (flag) return;
			lit.lazy[rt[v]]-=f[v]; lit.val[rt[v]]-=f[v];
			rt[x]=lit.merge(rt[x],rt[v]);
		}
	}
	lit.lazy[rt[x]]+=f[x]; lit.val[rt[x]]+=f[x];
	while (rt[x] && dep[lit.pos[rt[x]]]>=dep[x])
		rt[x]=lit.pop(rt[x]);
	if (!rt[x]) { flag=1; return; }
	f[x]=lit.val[rt[x]];
}

int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1,x,y;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y); add(y,x);
	}
	n++; add(n,1);
	for (int i=1,x,y,z;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		a[x].push_back(mp(y,z));
	}
	a[1].push_back(mp(0,0));
	lit.dis[0]=-1; dep[0]=-1;
	dfs(n,0);
	if (flag) cout<<"-1";
		else cout<<f[n];
	return 0;
}