【ARC092D】Two Faced Edges

题目

题目链接：https://atcoder.jp/contests/arc092/tasks/arc092_d
有一个 \(N\) 个点 \(M\) 条边的有向图。保证图中不存在重边和自环。
试判断将每条边反向，其他边不变的情况下，图中强连通分量的数量是否改变。
若改变，输出 diff，否则输出 same。
\(1 \leq N \leq 10^3\)，\(1 \leq M \leq 2 \times 10^5\)。

思路

考虑 \(u\to v\) 这条边变向会如何改变强连通分量的数量：

• 如果存在一条 \(v\to u\) 的路径，且变向后不存在 \(u\to v\) 的路径，那么强连通分量会少 \(1\)。
• 如果存在另一条 \(u\to v\) 的路径，且变向前不存在 \(v\to u\) 的路径，那么强连通分量会多 \(1\)。

综上，如果强连通分量会改变，当且仅当“存在 \(v\to u\) 的路径”和“存在另一条 \(u\to v\) 的路径”中恰好满足一个。
是否存在 \(v\to u\) 的路径直接 bitset 优化传递闭包就可以了。而存在另一条 \(u\to v\) 的路径，等价于从 \(u\) 到 \(v\)，\(u\to v\) 这一条边不是必经边。那么把 \(u\) 的出边按正序和倒序分别枚举一次，各跑 dfs，对于所有点 \(v\) 记录 \(u\) 到 \(v\) 的路径中第一条边的编号（或者到达的点的编号），如果两次记录的编号不同，说明存在另一条 \(u\to v\) 的路径。
时间复杂度 \(O(nm+\frac{n^3}{\omega})\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
using namespace std;

const int N=1010,M=200010;
int n,m,tot,head[N],pre[N],vis[N],ans[M];
vector<pair<int,int> > e[N];
bitset<N> a[N];

void dfs(int x,int tp,int tag)
{
	pre[x]^=tp; vis[x]=tag;
	for (int i=0;i<e[x].size();i++)
	{
		int v=e[x][i].fi;
		if (vis[v]!=tag) dfs(v,tp,tag);
	}
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1,x,y;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		e[x].push_back(mp(y,i)); a[x][y]=1;
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=n;j++)
			if (a[j][i]) a[j]|=a[i];
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		memset(pre,0,sizeof(pre));
		int lim=e[i].size()-1;
		vis[i]=i*2;
		for (int j=0;j<=lim;j++) dfs(e[i][j].fi,e[i][j].fi,i*2);
		vis[i]=i*2+1;
		for (int j=lim;j>=0;j--) dfs(e[i][j].fi,e[i][j].fi,i*2+1);
		for (int j=0;j<=lim;j++)
		{
			int v=e[i][j].fi,id=e[i][j].se;
			ans[id]=(pre[v]>0)^a[v][i];
		}
	}
	for (int i=1;i<=m;i++)
		ans[i] ? cout<<"diff\n" : cout<<"same\n";
	return 0;
}