【洛谷P2290】树的计数

题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2290
一个有 \(n\) 个节点的树，设它的节点分别为 \(v_1,v_2,\ldots,v_n\)，已知第 \(i\) 个节点 \(v_i\) 的度数为 \(d_i\)，问满足这样的条件的不同的树有多少棵。
\(1\le n\le 150\)，保证满足条件的树不超过 \(10^{17}\) 个。

思路

既然点有了度数限制，那么等价于 prufer 序列上这个点出现次数必须是 \(\mathrm{deg}_i-1\)。
问题转化为一个长度为 \(n-2\) 的序列，\(i\) 出现次数为 \(\mathrm{deg}_i-1\) 的方案数。显然等于

\[\frac{(n-2)!}{\Pi^{n}_{i=1}(\mathrm{deg}_i-1)!} \]

由于题目保证了答案不超过 long long 范围，那么直接分解质因数最后再乘起来即可。
时间复杂度 \(O(n^2)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=155;
int n,deg[N],cnt[N][N],a[N];
ll ans;

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		int p=i;
		for (int j=2;j<=n;j++)
		{
			cnt[i][j]=cnt[i-1][j];
			for (;p%j==0;p/=j) cnt[i][j]++;
		}
	}
	for (int j=1;j<=n;j++)
		a[j]+=cnt[n-2][j];
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&deg[i]);
		if (!deg[i]) return printf("%d",deg[1]==0),0;
		for (int j=1;j<=n;j++)
			a[j]-=cnt[deg[i]-1][j];
		deg[0]+=deg[i]-1;
	}
	if (deg[0]!=n-2) return printf("0"),0;
	ans=1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (;a[i];a[i]--) ans*=i;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}