【YbtOJ#20085】困难游走

题目

题目链接：https://www.ybtoj.com.cn/contest/67/problem/3

思路

下文设 \(\mathrm{stepsPerSecond}\) 为 \(t\)，\(\mathrm{timeLimit}\) 为 \(m\)。
首先因为必须走 \(t\) 的倍数步，所以我们先求出走 \(t\) 步点两两之间的最远距离。
设 \(f[l][i][j]\) 表示走 \(k\) 步后 \(i\) 与 \(j\) 之间的距离，那么

\[f[l][i][j]=\max(f[l][i][k]+f[k][j][1]) \]

这部分时间复杂度是 \(O(n^3t)\) 的。如果愿意的话可以矩阵乘法优化到 \(O(n^3\log t)\)。
然后后面很显然只需要矩阵乘法 \(m\) 次即可。但是直接这样做只可以求出严格走 \(m\) 秒后两点之间的距离。
所以我们给终点与自己连一个自环即可。
时间复杂度 \(O(Tn^3(t+\log m))\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=500010,M=1000010;
int n,m,tot,ans0,ans1,head[2][N],maxd[2][N],deg[2][N],rk[N];
multiset<int> s;

struct edge
{
	int next,to;
}e[M*2];

void add(int from,int to,int id)
{
	e[++tot].to=to;
	e[tot].next=head[id][from];
	head[id][from]=tot;
}

void topsort(int id)
{
	tot=0;
	queue<int> q;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		if (!deg[id][i]) q.push(i);
	while (q.size())
	{
		int u=q.front(); q.pop();
		rk[++tot]=u;
		for (int i=head[id][u];~i;i=e[i].next)
		{
			int v=e[i].to;
			deg[id][v]--;
			maxd[id][v]=max(maxd[id][v],maxd[id][u]+1);
			if (!deg[id][v]) q.push(v);
		}
	}
}

int main()
{
	freopen("graph.in","r",stdin);
	freopen("graph.out","w",stdout);
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1,x,y;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y,0); deg[0][y]++;
		add(y,x,1); deg[1][x]++;
	}
	topsort(0); topsort(1);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		s.insert(maxd[0][i]);
	ans1=2e9; 
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		int x=rk[i];
		s.erase(s.find(maxd[0][x]));
		for (int j=head[0][x];~j;j=e[j].next)
			s.erase(s.find(maxd[0][x]+maxd[1][e[j].to]+1));
		if (s.size() && *s.rbegin()<ans1)
			ans1=*s.rbegin(),ans0=x;
		s.insert(maxd[1][x]);
		for (int j=head[1][x];~j;j=e[j].next)
			s.insert(maxd[1][x]+maxd[0][e[j].to]+1);
	}
	printf("%d %d\n",ans0,ans1);
	return 0;
}