二分与三分

二分

单调序列或单调函数中进行查找
当答案具有单调性室，二分求解
--> 三分求单峰函数极值

注意

终止边界，左右区间取舍开闭情况 整数域
精度问题 实数域

实例代码

整数集合
最终答案在闭区间[l,r]内，循环以l==r结束

while (l<r) {
	int mid=(l+r)>>1;
	if (a[mid]<=x) l=mid;
	else r=mid-1;
}
return a[l];
//在单增序列a中查找>=x数中最小的一个

while (l<r) {
	int mid=(l+r+1)>>1;
	if (a[mid]<=x) l=mid;
	else r=mid-1;
}
return a[l];
//查找<=x中最大的一个

由此得出二分两种形式(整数域)
1.r=mid,l=mid+1,mid=(l+r)>>1//不会取到r
2.l=mid,r=mid-1,mid=(l+r+1)>>1//不会取到l
可以扩大至[1,n+1],[0,n]

而实数域只需要l=mid,r=mid即可
需要注意while (r-l>=精度范围*0.1)

upper_bound
lower_bound

例题

1.洛谷P2678 跳石头 (整数域)
2.洛谷P1024 一元三次方程 (实数域) (注意使用double)

三分

同样要求严格单调性
适用于求单峰函数的极值
设置l,m1,m2,r
m1为1/3处
m2为2/3处

double l=0,r=n;
while (r-l>=精度*0.1) {
	double m1=l+(r-l)/3.0,m2=r-(r-l)/3.0;
	if(f(m1)<f(m2)) l=m1;
	else r=m2;
}

//建议自己画图体验一下

例题 洛谷P4653 整数域 需一定数学技巧