强化学习总结

强化学习总结

强化学习的故事

强化学习是学习一个最优策略(policy)，可以让本体(agent)在特定环境(environment)中，根据当前的状态(state)，做出行动(action)，从而获得最大回报(G or return)。

有限马尔卡夫决策过程

马尔卡夫决策过程理论定义了一个数学模型，可用于随机动态系统的最优决策过程。
强化学习利用这个数学模型将一个现实中的问题变成一个数学问题。
强化学习的故事1：找到最优价值

强化学习就是：追求最大回报G
追求最大回报G就是：找到最优的策略\(\pi_*\)。
策略\(\pi_*\)告诉在状态\(s\)，应该执行什么行动\(a\)。
最优策略可以由最优价值方法\(v_*(s)\)或者\(q_*(s, a)\)决定。

故事1的数学版

\[\text{Reinforcement Learning} \doteq \pi_* \\ \quad \updownarrow \\ \pi_* \doteq \{ \pi(s) \}, \ s \in \mathcal{S} \\ \quad \updownarrow \\ \begin{cases} \pi(s) = \underset{a}{argmax} \ v_{\pi}(s' | s, a), \ s' \in S(s), \quad \text{or} \\ \pi(s) = \underset{a}{argmax} \ q_{\pi}(s, a) \\ \end{cases} \\ \quad \updownarrow \\ \begin{cases} v_*(s), \quad \text{or} \\ q_*(s, a) \\ \end{cases} \\ \quad \updownarrow \\ \text{approximation cases:} \\ \begin{cases} \hat{v}(s, \theta) \doteq \theta^T \phi(s), \quad \text{state value function} \\ \hat{q}(s, a, \theta) \doteq \theta^T \phi(s, a), \quad \text{action value function} \\ \end{cases} \\ where \\ \theta \text{ - value function's weight vector} \\ \]

有限马尔卡夫决策过程的基本概念：

state 状态
action 行动
reward 奖赏
\(G_t\) 回报
\(p(s' | s, a)\) 表示在状态s下，执行行动a，状态变成s'的可能性。
\(p(s', r | s, a)\) 表示在状态s下，执行行动a，状态变成s'，并获得奖赏r的可能性。
\(r(s, a)\) 在状态s下，执行行动a的期望奖赏。

\[r(s,a) \doteq \mathbb{E}[R_{t+1} | S_t = s, A_t = a] = \sum_{r \in \mathcal{R}} r \sum_{s' \in \mathcal{S}} p(s', r|s,a) \]

\(r(s, a, s')\) 在状态s下，执行行动a，状态变成s'的期望奖赏。

\[r(s,a,s') \doteq \mathbb{E}[R_{t+1} | S_t = s, A_t = a, S_{t+1} = s'] = \frac{\sum_{r \in \mathcal{R}} r p(s',r|s,a)}{p(s'|s,a)} \]

\(\pi\) 策略\(\pi\)

\[\pi = [\pi(s_1), \cdots, \pi(s_n)] \]

\(\pi(s)\) 策略\(\pi\)，在状态s下，选择的行动。
\(\pi_*\) 最优策略
\(\pi(a|s)\) 随机策略在在状态s下，选择行动a的可能性。
\(v_{\pi}(s)\) 策略\(\pi\)的状态价值方法。

\[v_{\pi}(s) \doteq \mathbb{E}[G_t | S_t = s] = \mathbb{E}_{\pi} \left [ \sum_{k=0}^{\infty} \gamma^k R_{t+k+1} | S_t = s \right ] \\ where \\ \pi \text{ - policy} \\ \mathbb{E}_{\pi}[\cdot] \text{ - the expected value of a value follows policy } \pi \]

\(q_{\pi}(s, a)\) 策略\(\pi\)的行动价值方法。

\[q_{\pi}(s,a) \doteq \mathbb{E}[G_t | S_t = s, A_t = a] = \mathbb{E}_{\pi} \left [ \sum_{k=0}^{\infty} \gamma^k R_{t+k+1} | S_t = s, A_t = a \right ] \\ \]

\(v_{*}(s)\) 最优状态价值方法。

\[v_*(s) \doteq \underset{\pi}{max} \ v_{\pi}(s), \forall s \in \mathcal{S} \]

\(q_{*}(s, a)\) 最优行动价值方法。

\[q_*(s, a) \doteq \underset{\pi}{max} \ q_{\pi}(s, a), \ \forall s \in \mathcal{S} \ and \ a \in \mathcal{A}(s) \\ q_*(s,a) = \mathbb{E}[R_{t+1} + \gamma v_* (S_{t+1}) \ | \ S_t = s, A_t = a] \]

强化学习的术语

学习任务可分为两类：

• 情节性任务(episodic tasks)
  指（强化学习的问题）会在有限步骤下结束。比如：围棋。
• 连续性任务(continuing tasks)
  指（强化学习的问题）有无限步骤。一个特征是：没有结束。比如：让一个立在指尖上的长棍不倒。（不知道这个例子好不好，我瞎编的。）

学习的方法：

• online-policy方法(online-policy methods)
  评估的策略和优化的策略是同一个。
• offline-policy方法(offline-policy methods)
  评估的策略和优化的策略不是同一个。意味着优化策略使用来自外部的模拟数据。

学习的算法：

• 预测算法(predication algorithms)
  计算每个状态的价值\(v(s)\)。然后预测(可以得到最大回报的)最优行动。
• 控制算法(predication algorithms)
  计算每个状态下每个行动的价值\(q(s, a)\)。

学习的算法：

• 列表方法(tabular methods)
  指使用表格存储每个状态（或者状态-行动）的价值。

• 近似方法(approximation methods)
  指使用一个函数来计算状态（或者状态-行动）的价值。

• 模型(model)
  环境的模型。可以模拟环境，模拟行动的结果。
  Dynamic Programming need a model。

• 基于模型的方法(model-base methods)
  通过模型来模拟。可以模拟行动，获得（状态或者行动）价值。

注：这个模拟叫做模型模拟。

• 无模型的方法(model-free methods)
  使用试错法(trial-and-error)来获得（状态或者行动）价值。

注：这个模拟叫做试错、试验、模拟等。
无模型的方法，可以用于有模型的环境。

• 引导性(bootstrapping)
  （状态或者行动）价值是根据其它的（状态或者行动）价值计算得到的。
• 取样性(sampling)
  （状态或者行动）价值，或者部分值（比如：奖赏）是取样得到的。
  引导性和取样性并不是对立的。可以是取样的，并且是引导的。

强化学习算法的分类

强化学习的故事2：我们该用哪个方法？

如果有一个模型，可以获得价值函数\(v(s)\)或者\(q(s, a)\)的值 \(\to\) 动态规划方法
如果可以模拟一个完整的情节 \(\to\) 蒙特卡罗方法
如果需要在模拟一个情节中间就要学习策略 \(\to\) 时序差分方法
\(\lambda\)-return用来优化近似方法中的误差。
资格迹(Eligibility traces)用来优化近似方法中的，价值函数的微分。
预测方法是求状态价值方法\(v(s)\)或者\(\hat{v}(s, \theta)\)。
控制方法是求行动价值方法\(q(s, a)\)或者\(\hat(q)(s, a, \theta)\)。
策略梯度方法(Policy Gradient Methods)是求策略方法\(\pi(a|s, \theta)\)。

算法类别	需要模型	引导性	情节性任务	连续性任务
动态规划方法	Y	Y	-	-
蒙特卡罗方法	N	N	Y	N
时序差分方法	N	Y	Y	Y
策略梯度方法	N	Y	Y	Y

算法列表

在每个算法中，后面的算法会更好，或者更通用一些。

4 动态规划(Dynamic Programming)

动态规划是基于模型的方法。
注：一个常见的考虑是将每个action的reward设为-1，期望的结果\(V(S_t)\)为0。

• Iterative policy evaluation
  使用随机策略\(\pi(a|s)\)来迭代计算\(v(s)\)

• Policy iteration (using iterative policy evaluation)
  通过使用迭代策略\(\pi(s)\)来优化了计算\(v(s)\)部分。但是，还是使用了期望值。

• Value iteration
  优化了整个流程，直接用行动的最大回报作为\(v(s)\)的值。

5 蒙特卡罗方法(Monte Carlo Method)

• First-visit MC policy evaluation (returns \(V \approx v\))
  在每个情节中，记录状态\(s\)第一个G。\(v(s) = avg(G(s))\)

• Monte Carlo ES (Exploring Starts)
  从一个特定起始点的蒙特卡罗方法。
  变成了计算\(q(s, a)\)。

• On-policy first-visit MC control (for \(\epsilon\)-soft policies)
  在探索中使用了\(\epsilon\)-soft策略。

• Incremental off-policy every-visit MC policy evaluation
  支持off-policy。

• Off-policy every-visit MC control (returns \(\pi \approx \pi_*\))
  使用了贪婪策略来支持off-policy。

6 时序差分方法(Temporal-Difference Learning)

时序差分方法的思想是：

1. 在一个情节进行过程中学习。
   比如：计算到公司的时间问题。早上晚起了10分钟，可以认为会比以往晚到10分钟。而不用完成从家到公司整个过程。
2. 视为蒙特卡罗方法的通用化。蒙特卡罗方法是步数为完成情节的TD算法。

• Tabular TD(0) for estimating \(v_{\pi}\)
  计算\(v(s)\)的单步TD算法。

• Sarsa: An on-policy TD control algorithm
  计算\(q(s, a)\)的单步TD算法。

• Q-learning: An off-policy TD control algorithm
  是一个突破性算法。但是存在一个最大化偏差(Maximization Bias)问题。

• Double Q-learning
  解决了最大化偏差(Maximization Bias)问题。

7 多步时序差分方法

• n-step TD for estimating \(V \approx v_{\pi}\)
  计算\(v(s)\)的多步TD算法。

• n-step Sarsa for estimating \(Q \approx q_*\), or \(Q \approx q_{\pi}\) for a given \(\pi\)
  计算\(q(s, a)\)的多步TD算法。

• Off-policy n-step Sarsa for estimating \(Q \approx q_*\), or \(Q \approx q_{\pi}\) for a given \(\pi\)
  考虑到重要样本，把\(\rho\)带入到Sarsa算法中，形成一个off-policy的方法。
  \(\rho\) - 重要样本比率(importance sampling ratio)

\[\rho \gets \prod_{i = \tau + 1}^{min(\tau + n - 1, T -1 )} \frac{\pi(A_t|S_t)}{\mu(A_t|S_t)} \qquad \qquad (\rho_{\tau+n}^{(\tau+1)}) \]

• n-step Tree Backup for estimating \(Q \approx q_*\), or \(Q \approx q_{\pi}\) for a given \(\pi\)
  Tree Backup Algorithm的思想是每步都求行动价值的期望值。
  求行动价值的期望值意味着对所有可能的行动\(a\)都评估一次。

• Off-policy n-step \(Q(\sigma)\) for estimating \(Q \approx q_*\), or \(Q \approx q_{\pi}\) for a given \(\pi\)
  \(Q(\sigma)\)结合了Sarsa(importance sampling), Expected Sarsa, Tree Backup算法，并考虑了重要样本。
  当\(\sigma = 1\)时，使用了重要样本的Sarsa算法。
  当\(\sigma = 0\)时，使用了Tree Backup的行动期望值算法。

8 基于模型的算法

这里的思想是：通过体验来直接优化策略和优化模型（再优化策略）。

• Random-sample one-step tabular Q-planning
  通过从模型中获取奖赏值，计算\(q(s, a)\)。

• Tabular Dyna-Q
  如果\(n=0\)，就是Q-learning算法。Dyna-Q的算法的优势在于性能上的提高。
  主要原因是通过建立模型，减少了执行行动的操作，模型学习到了\(Model(S, A) \gets R, S'\)。

• Prioritized sweeping for a deterministic environment
  提供了一种性能的优化，只评估那些误差大于一定值\(\theta\)的策略价值。

9 近似预测方法

预测方法就是求\(v(s)\)。

\[\hat{v}(s, \theta) \doteq \theta^T \phi(s), \quad \text{state value function} \\ where \\ \theta \text{ - value function's weight vector} \\ \]

• Gradient Monte Carlo Algorithm for Approximating \(\hat{v} \approx v_{\pi}\)
  蒙特卡罗方法对应的近似预测方法。

• Semi-gradient TD(0) for estimating \(\hat{v} \approx v_{\pi}\)
  单步TD方法对应的近似预测方法。
  之所以叫半梯度递减的原因是TD(0)和n-steps TD计算价值的公式不是精确的（而蒙特卡罗方法是精确的）。

• n-step semi-gradient TD for estimating \(\hat{v} \approx v_{\pi}\)
  多步TD方法对应的近似预测方法。

• LSTD for estimating \(\hat{v} \approx v_{\pi}\) (O(n2) version)

10 近似控制方法

控制方法就是求\(q(s, a)\)。

\[\hat{q}(s, a, \theta) \doteq \theta^T \phi(s, a), \quad \text{action value function} \\ where \\ \theta \text{ - value function's weight vector} \\ \]

• Episodic Semi-gradient Sarsa for Control
  单步TD的近似控制方法。（情节性任务）

• Episodic semi-gradient n-step Sarsa for estimating \(\hat{q} \approx q_*\), or \(\hat{q} \approx q_{\pi}\)
  多步TD的近似控制方法。（情节性任务）

• Differential Semi-gradient Sarsa for Control
  单步TD的近似控制方法。（连续性任务）

• Differential semi-gradient n-step Sarsa for estimating \(\hat{q} \approx q_*\), or \(\hat{q} \approx q_{\pi}\)
  多步TD的近似控制方法。（连续性任务）

12 \(\lambda\)-return和资格迹(Eligibility traces)

求权重向量\(\theta\)是通过梯度下降的方法。比如：

\[\delta_t = G_t - \hat{v}(S_t, \theta_t) \\ \theta_{t+1} = \theta_t + \alpha \delta_t \nabla \hat{v}(S_t, \theta_t) \]

这里面，有三个元素：\(\alpha, G_t, \nabla \hat{v}(S_t, \theta_t)\)。每个都有自己的优化方法。

• \(\alpha\)是学习步长
  要控制步长的大小。一般情况下步长是变化的。比如：如果误差\(\delta_t\)变大了，步长要变小。

• \(G_t\)的计算
  可以通过本章的\(\lambda\) - return方法。

• \(\nabla \hat{v}(S_t, \theta_t)\)
  可以通过资格迹来优化。资格迹就是优化后的函数微分。
  为什么要优化，原因是在TD算法中\(\hat{v}(S_t, \theta_t)\)是不精确的。
  \(G_t\)也是不精确的。
  \(\lambda\)-return用来优化近似方法中的误差。
  资格迹(Eligibility traces)用来优化近似方法中的，价值函数的微分。

• Semi-gradient TD(\(\lambda\)) for estimating \(\hat{v} \approx v_{\pi}\)
  使用了\(\lambda\)-return和资格迹的TD算法。

• True Online TD(\(\lambda\)) for estimating \(\theta^T \phi \approx v_{\pi}\)
  Online TD(\(\lambda\))算法

13 策略梯度方法

策略梯度方法就是求\(\pi(a | s, \theta)\)。

策略梯度方法的新思路(Policy Gradient Methods)

\[\text{Reinforcement Learning} \doteq \pi_* \\ \quad \updownarrow \\ \pi_* \doteq \{ \pi(s) \}, \ s \in \mathcal{S} \\ \quad \updownarrow \\ \pi(s) = \underset{a}{argmax} \ \pi(a|s, \theta) \\ where \\ \pi(a|s, \theta) \in [0, 1] \\ s \in \mathcal{S}, \ a \in \mathcal{A} \\ \quad \updownarrow \\ \pi(a|s, \theta) \doteq \frac{exp(h(s,a,\theta))}{\sum_b exp(h(s,b,\theta))} \\ \quad \updownarrow \\ exp(h(s,a,\theta)) \doteq \theta^T \phi(s,a) \\ where \\ \theta \text{ - policy weight vector} \\ \]

• REINFORCE, A Monte-Carlo Policy-Gradient Method (episodic)
  基于蒙特卡罗方法的策略梯度算法。

• REINFORCE with Baseline (episodic)
  带基数的蒙特卡洛方法的策略梯度算法。

• One-step Actor-Critic (episodic)
  带基数的TD方法的策略梯度算法。

• Actor-Critic with Eligibility Traces (episodic)
  这个算法实际上是：

1. 带基数的TD方法的策略梯度算法。
2. 加上资格迹(eligibility traces)

• Actor-Critic with Eligibility Traces (continuing)
  基于TD方法的策略梯度算法。（连续性任务）

参照

• Reinforcement Learning: An Introduction, Richard S. Sutton and Andrew G. Barto c 2014, 2015, 2016
• 强化学习读书笔记 - 00 - 术语和数学符号
• 强化学习读书笔记 - 01 - 强化学习的问题
• 强化学习读书笔记 - 02 - 多臂老O虎O机问题
• 强化学习读书笔记 - 03 - 有限马尔科夫决策过程
• 强化学习读书笔记 - 04 - 动态规划
• 强化学习读书笔记 - 05 - 蒙特卡洛方法(Monte Carlo Methods)
• 强化学习读书笔记 - 06~07 - 时序差分学习(Temporal-Difference Learning)
• 强化学习读书笔记 - 08 - 规划式方法和学习式方法
• 强化学习读书笔记 - 09 - on-policy预测的近似方法
• 强化学习读书笔记 - 10 - on-policy控制的近似方法
• 强化学习读书笔记 - 11 - off-policy的近似方法
• 强化学习读书笔记 - 12 - 资格痕迹(Eligibility Traces)
• 强化学习读书笔记 - 13 - 策略梯度方法(Policy Gradient Methods)
• 强化学习读书笔记 - 14 - 心理学