强化学习读书笔记 - 02 - 多臂老O虎O机问题

强化学习读书笔记 - 02 - 多臂老O虎O机问题

学习笔记：
Reinforcement Learning: An Introduction, Richard S. Sutton and Andrew G. Barto c 2014, 2015, 2016

数学符号的含义

• 通用
  \(a\) - 行动(action)。
  \(A_t\) - 第t次的行动(select action)。通常指求解的问题。

• 在老O虎O机问题中
  \(q_*(a)\) - 行动 a 的真实奖赏(true value)。这个是（实际中）不可知的。期望计算的结果收敛(converge)与它。
  \(N_t(a)\) - 在第t次之前，行动a被选择的次数。
  \(R_t\) - 第t步的实际奖赏(actual reward)。
  \(Q_t(a)\) - 行动 a 在第t次前（不包括第t次）的实际平均奖赏。

\[Q_t(a) = \frac{\sum_{i=1}^{t-1} R_i \times 1_{A_i=a}}{N_t(a)} \]

\(H_t(a)\) - 对于行动a的学习到的倾向。
\(\epsilon\) - 在ε-贪婪策略中，采用随机行动的概率\([0, 1)\)。

多臂老O虎O机问题

一般的老O虎O机只有一个臂（杆）。你塞10个硬币，拉一下杆，老O虎O机可能会吐出来一两个硬币，或者100个硬币。
多臂老O虎O机有多个杆（象征着多个行动(action)，每个杆有自己特有的吐钱逻辑）。
注意：每个杆的吐钱概率可能是固定的(stationary)，也可能是不固定的(non-stationary)。不固定在现实中更常见。
多臂老O虎O机问题就是在许多次尝试后，找到一个有效收益的策略。
多臂老O虎O机问题是统计学、工程、心理学的一个经典问题。不要小看了这个问题，很多权威都研究过。
在强化学习方面，我们通过这个问题，可以了解强化学习的基本概念和算法的思路。其中包括：

• 探索(exploration)和采用(exploitation)的权衡
• 贪婪(greedy)
• 收敛(convergence)
• 参数初始化的重要性
• 梯度递减(gradient descent)
  （注：梯度递增和梯度递减的意思一样，只是看问题的方向不一样。）
  等等。

如何判断算法的好坏

在讨论算法前，我们先考虑判断算法好坏的标准。

• 建立模型
  建立一个10臂老O虎O机。
  每个臂的真实行动价值\(q_*(a), a = 1, \dots, 10\)是一个符合（平均值=0, 方差=1）的正态分布。
  每个臂的每次行动的估值\(R_t(a)\)是一个符合（平均值=\(q_*(a)\), 方差=1）的正态分布。

• 测试标准

  • 平均奖赏 - 奖赏越多越好
  • 最优行动 - 和实际最优行动一致的比率越大越好

解决方法

行动-价值方法 (action-value method)

在决定第t次的行动\(A_t\)时，使用下面的算法。

\[A_t = \underset{a}{argmax} Q_t(a) \\ where \\ 1_{A_i=a} = \begin{cases} 1, if A_i = a \\ 0, otherwise \end{cases} \]

• 贪婪方法(greedy method)
  总是选择当前取得最大收益的行动。
  特点：最大化采用(exploitation)。
  算法的过程如下：

初始： \(Q_0(a), a = 1, \cdots, 10\) 都为0；
每个杆（action）都拉一下。 \(Q_0(a), a = 1, \cdots, 10\) 有了新值。
根据当前平均收益最大的杆，当做本次选择的杆。

• ε - 贪婪方法(ε-greedy method)
  ε - 读作epsilon。有弹性的意思。
  一般情况下选择当前取得最大收益的行动，但是有一定比例ε的行动是随机选择的。
  特点：增强了探索(exploration)性。
  算法的过程如下：

初始： \(Q_0(a), a = 1, \cdots, 10\) 都为0；
每个杆（action）都拉一下。 \(Q_0(a), a = 1, \cdots, 10\) 有了新值。
根据当前平均收益最大的杆，当做本次选择的杆。
同时根据\(ε\)的值，随机选择一个杆。（比如：\(ε=0.1\)，每十次随机选择一个杆）

增值实现(incremental implementation)

如何计算\(Q_t\)。
算法

\[\begin{array} \\ Q_t & = \frac{1}{t-1} \sum_{i=1}^{t-1} R_i \text{ : this method need memory all } R_i. \\ & = Q_{t-1} + \frac{1}{t-1} \left [ R_{t-1} - Q_{t-1} \right ] \text{this method is better, just need memory last } R_{t-1}, Q_{t-1}. \end{array} \]

带权值步长的增值实现(incremental implementation with weighted step size)

一个替代算法。用步长\(\alpha\) 代替$ \frac{1}{t-1}$。
算法

\[Q_t = Q_{t-1} + \alpha \left [ R_{t-1} - Q_{t-1} \right ] \]

解释
这个算法利于解决非稳定(non-stationary)问题。
非稳定(non-stationary)问题意味着\(q_*(a)\)是会发生变化的。因此，最近几次的奖赏更具代表性。
\(\alpha\)越大，意味着最近奖赏的权重越大。
这里也可以看到梯度计算的影子。

优化初始值(Optimistic initial values)

优化初始值\(Q_1(a)\)，如果赋值越大，会鼓励探索。
初始值为0时，ε - 贪婪方法(ε=0.1) 好于 ε - 贪婪方法(ε=0.01) 好于 贪婪方法。
看来冒一定风险还是有好处的。
初始值为5的贪婪方法 好于 ε - 贪婪方法(ε=0.1)。
有钱人更容易成功。

置信上界选择算法 (Upper-Confidence-Bound action selection)

可理解为求每个行动的最大可信值，选择最大可信值最大的行动。

算法

\[A_t = \underset{a}{argmax} \left [ Q_t(a) + c \sqrt{\frac{\log{t}}{N_t(a)}} \right ] \\ where \\ c \text{ : > 0, controls the degree of exploration. bigger c means more exploration.} \\ \text{if } N_t(a) = 0 \text{, then a is considered to be a maximizing action.} \]

算法理解
这个算法在计算：第t次的行动应该是什么？

我们没有说：“第t次的最优行动应该是什么？”。为什么不说最优呢？
因为，强化学习的目的是总体最优，不是局部最优，因此“第t次的最优行动”不是强化学习最求的目标。

\(c\)是一个可调的参数。我们在理解中不用太关心它，当它是\(1\)好了。

在机器学习中，算法一般都有几个参数可以调节。不同环境中，调节参数最优化可以很大的提高算法的质量。
\(Q_t(a)\) - 行动a当前的奖赏。
\(t\) - 第t次。
\(\log{t}\) - 求t的指数。随着t变大，\(\log{t}\)变大的速度变慢。
\(N_t(a)\) - 行动a被选择的次数。
\(\left [ \sqrt{\frac{\log{t}}{N_t(a)}} \right ]\) - 由于\(\frac{\log{t}}{N_t(a)} < 1 \text{， when x > 7 }\)， 求平方根，反而是起了一个放缓、放大的作用。
在没有奖赏的情况下：\(Q_t(a)\) 不变。\(\log{t}\)比\(N_t(a)\)变化的慢，因此总结果会变小。

• 梯度老O虎O机算法 (Gradient Bandit Algorithms)
  之前的算法，主要是通过发生的事件，根据行动的估计奖赏，来决定选择哪个行动。
  梯度算法是：通过发生的事件，根据行动的倾向\(H_t(a)\)，来决定选择哪个行动。
  （个人没看出有什么不同）。

\[Pr\{A_t = a\} = \pi_t(a) = softmax(H_t(a)) = \frac{e^{H_t(a)}}{ \sum_{i=1}^k e^{H_t(a)}} \\ A_t = \underset{a}{argmax} (\pi_t(a)) \\ \pi_t(a) \text{ for the probability of taking action a at time t.} \]

softmax是一个激活函数。通常用于输出的概率计算，就是现在看到的例子。

\[H_1(a) = 0, \forall a \\ \text{After action } A_t \text{ and receiving the reward } R_t, \\ H_{t+1}(A_t) = H_t(A_t) + \alpha(R_t - \bar{R}_t)(1- \pi_t(A_t)) \text{, and} \\ H_{t+1}(a) = H_t(a) - \alpha(R_t - \bar{R}_t)\pi_t(a) , \forall a \ne A_t \\ \bar{R}_t = \frac{\sum R_t}{t} \\ where \\ \alpha \text{ - step size parameter.} \\ \bar{R}_t \text{ - the average of all the rewards up through and including time t.} \]

参照

• Reinforcement Learning: An Introduction, Richard S. Sutton and Andrew G. Barto c 2014, 2015, 2016
• 强化学习读书笔记 - 01 - 强化学习的问题