作业（7-4）分析

最低通行费实践报告

1.1 最优子结构、递推方程及边界条件

从左上角到右下角，至少需要向右移动 N−1 次、向下移动 N−1 次，共经过 2N−1 个方格，恰好满足时间限制。因此，符合要求的路径只能向右或向下移动。

采用从 0 开始的下标，设 a[i][j] 为第 i 行、第 j 列方格的费用。

定义 dp[i][j] 表示从左上角 (0,0) 到达位置 (i,j) 的最低总费用，包含起点和当前方格的费用。

对于非边界位置 (i,j)，只能从上方 (i−1,j) 或左方 (i,j−1) 到达。如果到达前一个位置的子路径不是最优的，就可以用费用更低的子路径替换它，使总费用降低。因此，本题具有最优子结构性质。

递推方程：

dp[i][j] = min(dp[i−1][j], dp[i][j−1]) + a[i][j]

适用范围：1 ≤ i < N，1 ≤ j < N。

边界条件：

• 起点：dp[0][0] = a[0][0]。
• 第一列：dp[i][0] = dp[i−1][0] + a[i][0]，其中 1 ≤ i < N。
• 第一行：dp[0][j] = dp[0][j−1] + a[0][j]，其中 1 ≤ j < N。

1.2 表的维度、填表范围与填表顺序

使用一个 N×N 的二维数组 dp 保存各位置的最低费用，行、列下标均为 0 到 N−1。

填表顺序：

1. 初始化起点 dp[0][0]。
2. 从上到下计算第一列。
3. 从左到右计算第一行。
4. 对其余位置，按行从上到下、每行从左到右计算，即 i 从 1 到 N−1，j 从 1 到 N−1。

计算 dp[i][j] 时，所依赖的上方和左方状态都已经计算完成。

原问题的最优值位于右下角，即 dp[N−1][N−1]。

样例计算完成后的 dp 表如下：

行号 / 列号	0	1	2	3	4
0	1	5	11	19	29
1	3	8	15	30	47
2	9	16	24	42	62
3	19	27	36	55	76
4	39	50	61	84	109

因此，最低通行费为 109。

其中一条最优路径经过的方格费用依次为：

1 → 2 → 5 → 7 → 9 → 12 → 19 → 21 → 33

总费用为：

1 + 2 + 5 + 7 + 9 + 12 + 19 + 21 + 33 = 109。

1.3 时间复杂度与空间复杂度

输入和填表均需遍历 N×N 个位置，每个状态只进行常数次比较与加法运算，因此时间复杂度为 O(N²)。

程序使用两个 N×N 的二维数组，分别保存方格费用和动态规划结果，因此空间复杂度为 O(N²)。